Równanie różniczkowe Poissona

Równanie różniczkowe Poissona – niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.

Równanie to zapisać można w postaci:

${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle u=f}$

lub inaczej

${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u=f}$.

Funkcję ${\displaystyle f}$ zmiennych przestrzennych traktuje się jako znaną^[1].

Szczególne przypadki

Równanie można również zapisać explicite dla przestrzeni o zadanym wymiarze.

Dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje ono postać równania różniczkowego cząstkowego:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}u(x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)=f(x,y,z),}$

a dla dwuwymiarowej:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,y)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}u(x,y)=f(x,y).}$

W przypadku jednowymiarowym równanie Poissona redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego:

${\displaystyle u''(x)=f(x).}$

W przypadku jednorodnym, tj. jeśli ${\displaystyle f\equiv 0,}$ to mamy do czynienia z przypadkiem szczególnym znanym pod nazwą równania różniczkowego Laplace’a.

Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elektrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku i przeprowadził analizę jego rozwiązań.

Rozwiązania i funkcje Greena

Równanie różniczkowe Poissona z dołączonymi do niego warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe. Zagadnienie to posiada rozwiązania regularne, o ile warunki brzegowe mają postać ciągłą.

Dla obszaru ${\displaystyle U}$ i funkcji ciągłych ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ rozwiązaniem równania Poissona ${\displaystyle \Delta u=f}$ w obszarze ${\displaystyle U}$ spełniającym warunek ${\displaystyle u=g}$ na brzegu ${\displaystyle U}$ jest

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial U}g(y){\frac {\partial G}{\partial n}}(x,y)dS(x,y)+\int _{U}f(y)G(x,y)dy,}$

gdzie ${\displaystyle G}$ jest funkcją Greena obszaru (o ile dla danego obszaru taka funkcja istnieje).

Funkcją Greena półprzestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x=(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{n}>0\}}$ jest

${\displaystyle G(x,y)=\Gamma (y-x)-\Gamma (y-{\bar {x}}),}$

gdzie ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,-x_{n}),}$ a ${\displaystyle \Gamma }$ jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Funkcją Greena (hiper)kuli jest

${\displaystyle G(x,y)=\Gamma (y-x)-\Gamma (|x|(y-{\tilde {x}})),}$

gdzie ${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x}{|x|^{2}}},}$ a ${\displaystyle \Gamma }$ jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Zobacz też

• operator Laplace’a
• operator nabla
• równanie różniczkowe Laplace’a

Przypisy

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.