Równość (matematyka)

Ten artykuł od 2020-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Równość – relacja, która jest relacją równoważności. Jest to zatem relacja zwrotna, przechodnia i symetryczna. Ważną cechą relacji równości ${\displaystyle a=b}$ jest to, że dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f}$ zachodzi:

${\displaystyle a=b\implies f(\dots ,a,\dots )=f(\dots ,b,\dots )}$

Aksjomatyzacja pojęcia równości generuje bardzo dużo aksjomatów – potrzebne są trzy aksjomaty: zwrotności, przechodniości i symetrii, oraz przede wszystkim aksjomat dla każdej pozycji każdej relacji i funkcji w algebrze. Na przykład jeśli system zawiera ${\displaystyle f(a,b)}$ i ${\displaystyle g(a,b,c),}$ to dodanie do niego równości wymaga dodania następujących aksjomatów:

${\displaystyle a=a}$

${\displaystyle a=b\implies b=a}$

${\displaystyle a=b\land b=c\implies a=c}$

${\displaystyle a=b\implies f(a,x)=f(b,x)}$

${\displaystyle a=b\implies f(x,a)=f(x,b)}$

${\displaystyle a=b\implies g(a,x,y)=g(b,x,y)}$

${\displaystyle a=b\implies g(x,a,y)=g(x,b,y)}$

${\displaystyle a=b\implies g(x,y,a)=g(x,y,b).}$

Nie jest to efektywne. Dlatego też, mimo że można traktować równość jak normalną relację, zwykle traktuje się ją specjalnie. Przykładowo, systemy automatycznego dowodzenia twierdzeń z równością używają paramodulacji obok (lub zamiast) zwykłej rezolucji.

Zobacz też

• znak równości