Rachunek wariacyjny

Problem brachistochrony – klasyczne zagadnienie rachunku wariacyjnego

Katenoida ma najmniejsze pole wśród powierzchni łączących dwa równe okręgi. Jest to rozwiązanie przykładowego zagadnienia Plateau.

Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów^[1] określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji^[2].

Uwagi ogólne

Podstawowym zadaniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie ekstremalnych wartości funkcjonałów o postaci całek oznaczonych, reprezentujących określone wielkości fizyczne takie jak czas, długość, powierzchnia, ciężar, sztywność itp. Zadanie to jest analogiczne do zadania rachunku różniczkowego, poszukiwania ekstremum funkcji ${\displaystyle f(\mathbf {r} ).}$ Jest ono osiągane w punkcie ${\displaystyle \mathbf {r} _{o}}$ mającym tę własność, że ${\displaystyle f(\mathbf {r} _{o}+\delta \mathbf {r} )<f(\mathbf {r} _{o})}$ w przypadku maksimum i ${\displaystyle f(\mathbf {r} _{o}+\delta \mathbf {r} )>f(\mathbf {r} _{o})}$ w przypadku minimum, gdzie ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ jest małą wariacją zmiennej ${\displaystyle \mathbf {r} .}$

W rachunku wariacyjnym poszukujemy takiej funkcji ${\displaystyle \mathbf {q} _{o}(\mathbf {r} ),}$ dla której funkcjonał ${\displaystyle U[\mathbf {q} ]=\int _{\Omega }F[\mathbf {q} (\mathbf {r} )]d\mathbf {r} }$ ma tę własność, że ${\displaystyle U[\mathbf {q} _{o}+\delta \mathbf {q} ]<U[\mathbf {q} _{o}]}$ w przypadku maksimum i ${\displaystyle U[\mathbf {q} _{o}+\delta \mathbf {q} ]>U[\mathbf {q} _{o}]}$ w przypadku minimum, gdzie ${\displaystyle \delta \mathbf {q} }$ jest małą wariacją funkcji ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ).}$

Poszukiwanie ekstremum funkcji ${\displaystyle f(x)}$(o ciągłej pochodnej) w rachunku różniczkowym wymaga rozwiązania równania ${\displaystyle f^{'}(x)=0,}$ które jest warunkiem koniecznym istnienia tego ekstremum. Podobnie w rachunku wariacyjnym poszukiwanie ekstremum funkcjonału ${\displaystyle U[y]}$ wymaga spełnienia określonego warunku koniecznego dla jego istnienia, którym okazuje się zwykle pewne równanie różniczkowe dla funkcji ${\displaystyle y(x).}$

Przykładowe zagadnienia

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki przestrzeni taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ z metryką euklidesową), krzywa łącząca punkty ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ dana jest funkcją ${\displaystyle y(x)\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,}$ taką, że ${\displaystyle A=(0,y_{0})}$ i ${\displaystyle B=(1,y_{1}),}$ gdzie ${\displaystyle y_{i}=y(i).}$

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

${\displaystyle \Delta l={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}$ gdzie ${\displaystyle \Delta x,\Delta y}$ to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

${\displaystyle l=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}dx.}$

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa ta dana jest równaniem:

${\displaystyle y=(y_{1}-y_{0})x+y_{0}.}$

Najkrótszy czas przejazdu

Pomiędzy miejscowościami ${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ i ${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$ porusza się pojazd w terenie o tak zróżnicowanej nawierzchni, że w danym jej punkcie ${\displaystyle P(x,y)}$ musi zachować prędkość o wartości ${\displaystyle v(x,y).}$ Zakładając, że element trasy ${\displaystyle ds}$ pojazd przebywa w czasie ${\displaystyle dt=ds/v,}$ możemy czas ${\displaystyle T}$ przejazdu z A do B po trasie ${\displaystyle y(x)}$ obliczyć za pomocą całki

${\displaystyle T=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\!{\frac {ds}{v}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\!{\frac {\sqrt {1+y^{'2}}}{v(x,y)}}dx,}$

której wartość zależy od wyboru trasy ${\displaystyle y(x)}$ i osiąga minimum dla trasy optymalnej ${\displaystyle y_{o}(x).}$

Zasada Fermata

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej ${\displaystyle y(x),}$ dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę ${\displaystyle ds}$ wynosi ${\displaystyle dt={\frac {ds}{v}}={\frac {1}{c}}n\;ds,}$ gdzie ${\displaystyle v}$ jest prędkością światła w ośrodku, ${\displaystyle c}$ to prędkość światła w próżni, a ${\displaystyle n}$ to bezwzględny współczynnik załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

${\displaystyle \int \limits _{A}^{B}n\;ds.}$

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}n(x,y){\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}\;dx,}$

gdzie ${\displaystyle y(x)}$ to krzywa, po której porusza się promień, taka, że ${\displaystyle A=(0,y(0))}$ i ${\displaystyle B=(1,y(1)).}$

Metody rachunku wariacyjnego

Równania Eulera-Lagrange’a

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego^[3], służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(x(t),{\dot {x}}(t),t)\;dt,}$

to równania E-L mają postać

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0,}$

gdzie ${\displaystyle x}$ może być liczbą rzeczywistą albo wektorem – w drugim przypadku dostajemy układ równań

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0,}$

gdzie ${\displaystyle x_{i}}$ jest ${\displaystyle i}$-tą współrzędną wektora ${\displaystyle x.}$

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Przypisy

Bibliografia

• John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212–232. ISBN 978-83-01-14674-0.
• Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: PWN, 1975, s. 45–53.