Reguła de l’Hospitala

Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji i funkcja jest nieokreślona w punkcie ale może być kontynuowana jako funkcja ciągła w całym zbiorze z wykorzystaniem definicji

Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala[a] – zwyczajowa nazwa twierdzenia rachunku różniczkowego, które umożliwia wyznaczenie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony.

Rys historyczny

Reguła ta została opisana po raz pierwszy przez Johanna Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a de l’Hospitala[a]. W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarte zostało dyskutowane tu twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.

Reguła de l’Hospitala

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz
oraz istnieją (skończone) pochodne i przy czym
wówczas
Jeśli dodatkowo i mają ciągłe pochodne w punkcie to[1]:

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.

Często zdarza się jednak, że funkcje i nie są określone w punkcie jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:

Wersja podstawowa (dla granic w punkcie)

Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz

lub

oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale przy czym dla

Wówczas, jeśli istnieje granica

to wtedy również

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic w nieskończoności

Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz

lub

oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale przy czym dla

Wówczas, jeśli istnieje granica

to wtedy również

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych

Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz

  1. w przedziale istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do włącznie funkcji i
  2. oraz
  3. dla

wówczas

Zastosowania

  • Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie poprzez podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:

W takim przypadku stosujemy regułę de l’Hospitala, zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne:

Uwaga: nie jest to dowód! Przy obliczaniu pochodnej sinusa potrzebna jest wartość granicy

  • Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji.
  • Niekiedy aby uzyskać wynik, należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych.

Zobacz też

Uwagi

  1. a b Ze względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal].

Przypisy

  1. de L’Hospitala reguła, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-12-16].

Bibliografia

Linki zewnętrzne

  • Eric W. Weisstein, L'Hospital's Rule, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać L'Hospital rule (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].

Media użyte na tej stronie

Hopital sin x by -0.5x.png
Autor: unknown, Licencja: CC BY-SA 4.0