Reguła de l’Hospitala

Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji ${\displaystyle {\color {BurntOrange}f(x)}={\color {BurntOrange}\sin(x)}}$ i ${\displaystyle {\color {Red}g(x)}={\color {Red}-0{,}5x}{:}}$ funkcja ${\displaystyle {\color {Brown}h(x)}={\color {BurntOrange}f(x)}/{\color {Red}g(x)}}$ jest nieokreślona w punkcie ${\displaystyle x=0,}$ ale może być kontynuowana jako funkcja ciągła w całym zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z wykorzystaniem definicji ${\displaystyle {\color {Brown}h(0)}={\color {RoyalBlue}f'(0)}/{\color {Blue}g'(0)}=-2.}$

Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala^[a] – zwyczajowa nazwa twierdzenia rachunku różniczkowego, które umożliwia wyznaczenie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony.

Rys historyczny

Reguła ta została opisana po raz pierwszy przez Johanna Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a de l’Hospitala^[a]. W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarte zostało dyskutowane tu twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.

Reguła de l’Hospitala

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt ${\displaystyle a}$ oraz

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0,}$

oraz istnieją (skończone) pochodne ${\displaystyle f'(a)}$ i ${\displaystyle g'(a),}$ przy czym ${\displaystyle g'(a)\neq 0,}$

wówczas

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.}$

Jeśli dodatkowo ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ mają ciągłe pochodne w punkcie ${\displaystyle a,}$ to^[1]:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{{\tfrac {-1}{e-x}}+1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{\tfrac {-1+(e-x)}{e-x}}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}}={\tfrac {2e}{e-1}}.}$

Często zdarza się jednak, że funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ nie są określone w punkcie ${\displaystyle a,}$ jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:

Wersja podstawowa (dla granic w punkcie)

Niech funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ będą określone w przedziale ${\displaystyle (a,b]}$ oraz

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=0,}$

lub

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty ,}$

oraz istnieją (skończone) pochodne ${\displaystyle f'}$ i ${\displaystyle g'}$ w przedziale ${\displaystyle (a,b],}$ przy czym ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in (a,b].}$

Wówczas, jeśli istnieje granica

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}$

to wtedy również

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic w nieskończoności

Niech funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ będą określone w przedziale ${\displaystyle [c,\infty )}$ oraz

1. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=0,}$

lub

1. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty ,}$

oraz istnieją (skończone) pochodne ${\displaystyle f'}$ i ${\displaystyle g'}$ w przedziale ${\displaystyle [c,\infty ),}$ przy czym ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in [c,\infty ).}$

Wówczas, jeśli istnieje granica

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}$

to wtedy również

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy ${\displaystyle x\to -\infty .}$

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych

Jeżeli funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są określone w przedziale otwartym ${\displaystyle I}$ zawierającym punkt ${\displaystyle a}$ oraz

1. w przedziale ${\displaystyle I}$ istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do ${\displaystyle n}$ włącznie funkcji ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g,}$
2. ${\displaystyle f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,}$ ${\displaystyle g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,}$ oraz ${\displaystyle g^{(n)}(a)\neq 0,}$
3. ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in I\setminus \{a\},}$

wówczas

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}}.}$

Zastosowania

• Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie poprzez podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}~{\frac {\sin x}{x}}=\left[{\frac {\sin 0}{0}}\right]=\left[{\frac {0}{0}}\right]}$

W takim przypadku stosujemy regułę de l’Hospitala, zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}~{\frac {(\sin x)'}{(x)'}}=\lim _{x\to 0}~{\frac {\cos x}{1}}={\frac {1}{1}}=1}$

Uwaga: nie jest to dowód! Przy obliczaniu pochodnej sinusa potrzebna jest wartość granicy ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}.}$

• Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji.
• Niekiedy aby uzyskać wynik, należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych.

Zobacz też

• granica funkcji
• pochodna funkcji
• symbol nieoznaczony
• twierdzenie Stolza

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., L'Hospital's Rule, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• L'Hospital rule (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].