Relacja antysymetryczna
Relacja antysymetryczna, relacja słabo antysymetryczna – dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par i dla różnych i
Formalnie relację dwuczłonową nazywa się antysymetryczną, gdy:
Innymi słowy, dla każdych dwóch elementów ze zbioru, na którym określono relację antysymetryczną, jeśli te dwa elementy pozostają ze sobą w tej relacji bez względu na ich kolejność, to elementy te są identyczne (tzn. jest to ten sam element).
Powyższe zdanie jest kontrapozycją warunku przedstawionego we wstępie: jeśli dwa elementy są różne, to relacja antysymetryczna między nimi nie zachodzi przynajmniej w jedną stronę (dla przynajmniej jedna z par i nie należy do relacji).
Obie nazwy: relacja antysymetryczna i relacja słabo antysymetryczna, są w użyciu. Na przykład Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski[1] podają pierwszą nazwę, ale Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz[2] używają drugiej.
Przykłady
- Relacja równości w dowolnym zbiorze.
- Relacja porządku w alfabecie łacińskim – dla dowolnie wybranych dwu różnych liter nie może jedna z nich występować w alfabecie jednocześnie wcześniej i później niż druga (to samo tyczy wszelkich porządków).
Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne lub antysymetryczne:
- Bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Wojciech Guzicki; Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005. Strona 173. ISBN 83-01-14415-7.
- ↑ Wiktor Marek; Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, wydanie 2., strona 38.