Relacja pełna

Relacja pełna (całkowita, totalna) – relacja obejmująca wszystkie elementy zbioru, na którym jest rozpatrywana. Relacja binarna na zbiorze ${\displaystyle X}$ jest relacją pełną, jeśli każde dwa (niekoniecznie różne) elementy zbioru ${\displaystyle X}$ są w tej relacji.

Należy zauważyć, że nazewnictwo dla relacji tego typu nie jest powszechnie ustalone, ponieważ relacje te są w zasadzie nieciekawe dla matematyków. Określenie relacja totalna jest używane bardzo rzadko, ponieważ może ono być mylone z angielską nazwą total relation dla relacji spójnej.

Definicja

Niech ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ będą dowolnymi zbiorami oraz ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots A_{n}.}$ Relację n-argumentową ${\displaystyle \varrho \subseteq A}$ nazywa się pełną, jeżeli ${\displaystyle \varrho =A.}$

Oznacza to, że dla każdych ${\displaystyle n}$ elementów ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in A}$ zachodzi ${\displaystyle \varrho (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}$ czyli są one ze sobą w relacji ${\displaystyle \varrho .}$

Własności

• Relacja pełna jest całkowicie wyznaczona przez określenie jej projekcji na wszystkie współrzędne. W szczególności istnieje tylko jedna dwuczłonowa relacja pełna na zbiorze ${\displaystyle X}$ – jest to ${\displaystyle X\times X.}$
• Dwuczłonowa relacja całkowita jest zwrotna, symetryczna, spójna, przechodnia. Jest to relacja równoważności o jednej klasie abstrakcji.
• Jeśli zbiór ${\displaystyle X}$ jest niepusty, to binarna relacja całkowita na ${\displaystyle X}$ nie jest przeciwzwrotna, antysymetryczna, przeciwsymetryczna.

Zobacz też

• porządek liniowy
• relacja pusta