Relacja spójna

Relacja spójna (liniowa) – relacja dwuargumentowa wiążąca każde dwa elementy zbioru, na którym jest określona.

Formalnie: relacja ${\displaystyle \varrho \subset X\times X}$ jest spójna, jeśli spełnia następujący warunek^[1][2]:

${\displaystyle \forall _{x,y\in X}\;((x,y)\in \varrho \,\lor \,(y,x)\in \varrho \,\lor x=y).}$

Definicja oznacza, że dla każdych dwóch różnych elementów ${\displaystyle x,y\in X}$ zachodzi ${\displaystyle x\varrho y}$ lub ${\displaystyle y\varrho x.}$

W niektórych źródłach podawana jest mocniejsza wersja definicji relacji spójnej^[3]:

${\displaystyle (\forall x,y\in X)((x,y)\in \varrho \,\lor \,(y,x)\in \varrho ).}$

Relacja wg drugiej definicji jest zwrotna. Dla danego ${\displaystyle \varrho ,}$ jeśli para ${\displaystyle x,y\in X}$ spełnia drugą definicję relacji, to spełnia też pierwszą.

Każda relacja pełna jest spójna. Relacja pusta nie jest spójna, o ile nie jest określona na zbiorze pustym.

Przykłady

• Przykładem relacji spójnej jest relacja ${\displaystyle \leqslant }$ na zbiorze liczb naturalnych. Jeśli weźmie się dowolne dwie liczby naturalne, to zawsze jedna z nich jest niewiększa od drugiej. Relacja ${\displaystyle \leqslant }$ spełnia obie definicje.

• Relacja ${\displaystyle <}$ na zbiorze liczb naturalnych spełnia tylko pierwszą definicję.

• Przykładem relacji, która nie jest spójna, jest relacja podzielności na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Na przykład żadna para różnych liczb pierwszych nie spełnia takiej relacji.

Zobacz też

• porządek liniowy

Przypisy