Relacja symetryczna

Ten artykuł od 2021-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Relacja symetryczna – relacja, która jest identyczna z perspektywy wszystkich wchodzących w jej skład elementów. Jeśli zachodzi dla pary ${\displaystyle (x,y),}$ to zachodzi też dla pary ${\displaystyle (y,x).}$

Relację dwuczłonową ${\displaystyle \varrho \subseteq X\times X}$ nazywa się symetryczną, gdy^[1]:

${\displaystyle \forall _{x,y\in X}\;(x\;\varrho \;y\Rightarrow y\;\varrho \;x).}$

W powyższej definicji można też zamienić implikację ${\displaystyle \Rightarrow }$ na równoważność ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ – jej znaczenie nie zmieni się.

Jeśli relacja jest równocześnie symetryczna i antysymetryczna, to zachodzi:

${\displaystyle \forall _{x,y\in X}\;(x\;\varrho \;y\Rightarrow x=y)}$

i relacja taka jest wtedy podzbiorem relacji równości.

Przykłady

Relacje symetryczne w matematyce:

• Każda relacja równoważności, np. równość elementów zbioru
• Relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: równoległość, przecinanie się, prostopadłość
• Relacje między kątami: kąty przyległe, kąty dopełniające się, kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe
• Relacje między okręgami: rozłączność (w szczególności współśrodkowość, in. koncentryczność), styczność (dwóch rodzajów) albo przecinanie (także dwóch rodzajów)
• Relacje między figurami: przystawanie, podobieństwo
• Relacje między zbiorami: równoliczność, rozłączność, przecinanie się
• Relacja między grupami i innymi strukturami algebraicznymi: izomorfizm
• Relacja między przestrzeniami topologicznymi: homeomorfizm
• Relacja między krzywymi: homotopia
• Relacja między liczbami całkowitymi: przystawanie (kongruencja), względna pierwszość
• Relacja między funkcjami w danym zbiorze (działaniami jednoargumentowymi): przemienność (komutacja). Macierze kwadratowe są reprezentacjami endomorfizmów, więc też mogą komutować lub nie.
• Relacje między ciągami i funkcjami o wartościach rzeczywistych: bycie dokładnie tego samego rzędu, asymptotyczna równość (posiadanie tej samej granicy w nieskończoności)

Przykłady spoza matematyki:

• relacje w zbiorze nuklidów: izotopy, izobary, izotony, bycie jądrami lustrzanymi
• Izomeria molekuł
• komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA)
• Bycie rodzeństwem lub szerzej: krewnymi
• Bycie małżeństwem lub szerzej: spowinowaczonymi
• Konkurencja ekologiczna i ekonomiczna
• Symbioza
• Bycie miastami partnerskimi
• Stosunki dyplomatyczne.

Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysymetryczne:

• Bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.

Zobacz też

• relacja przeciwsymetryczna

Przypisy