Relacja trychotomiczna

Relacja trychotomiczna – antysymetryczna, spójna i przeciwzwrotna relacja binarna. Jej przykładem jest porządek liczb rzeczywistych^[1].

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zbiorem. Relację ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq X\times X}$ nazywamy relacją trychotomiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:

• antysymetryczna:

${\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal {R}}\,y\wedge y\,{\mathcal {R}}\,x)\Rightarrow x=y\;,}$

• spójna:

${\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;x\,{\mathcal {R}}\,y\vee y\,{\mathcal {R}}\,x\vee x=y\;,}$

• przeciwzwrotna:

${\displaystyle \forall \;x\in X:\;\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,x\;.}$

Równoważnie, relacja ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;({x\,{\mathcal {R}}\,y}\;\wedge \;\lnot \;{y\,{\mathcal {R}}\,x}\;\wedge \;\lnot \;{x=y})\;\vee \;(\lnot \;{x\,{\mathcal {R}}\,y}\;\wedge \;{y\,{\mathcal {R}}\,x}\;\wedge \;\lnot \;{x=y})\;\vee \;(\lnot \;{x\,{\mathcal {R}}\,y}\;\wedge \;\lnot \;{y\,{\mathcal {R}}\,x}\;\wedge \;{x=y})\;.}$

Relacja ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle x,\,y\in X}$ zachodzi dokładnie jeden z warunków: ${\displaystyle {x\,{\mathcal {R}}\,y}}$ albo ${\displaystyle {y\,{\mathcal {R}}\,x}}$ albo ${\displaystyle {x=y}\;.}$

Przykłady

• Relację ostrego porządku definiuje się jako relację przechodnią, przeciwzwrotną i spójną (w myśl powyższej definicji spójności, która nie implikuje zwrotności). Przechodniość i przeciwzwrotność implikują antysymetryczność, stąd relację ostrego porządku można równoważnie zdefiniować jako relację przechodnią i trychotomiczną^[2].

Zobacz też

• relacja (matematyka)
• relacja antysymetryczna
• relacja spójna
• relacja przeciwzwrotna
• częściowy porządek
• porządek liniowy

Przypisy