Relacja zwrotna

Relacja zwrotna – relacja, w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą^[1].

Formalnie: relację dwuczłonową ${\displaystyle \varrho \subseteq X\times X}$ nazywa się zwrotną, gdy

${\displaystyle \forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x)}$.

Zwrotność jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i częściowych porządków (skierowań).

Relacja przeciwzwrotna – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą.

Formalnie: relację dwuczłonową ${\displaystyle \varrho \subseteq X\times X}$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy

${\displaystyle \forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x).}$

Przykłady

Relacje zwrotne:

• Przecinanie się zbiorów niepustych;
• Przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych;
• liniowa zależność wektorów;
• Podgrupa normalna to przykład relacji zwrotnej, która nie jest ani symetryczna, ani przechodnia.

Relacje przeciwzwrotne:

• Relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych
• Ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów
• Prostopadłość prostych
• Rozłączność zbiorów niepustych
• Liniowa niezależność niezerowych wektorów
• Bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem

Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:

• Biorąc relację ${\displaystyle \varrho }$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: ${\displaystyle n\ \varrho \ m}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n+m+1}$ jest liczbą pierwszą. Relacja ${\displaystyle \varrho }$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo ${\displaystyle \lnot (10\ \varrho \ 10)}$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ ${\displaystyle 10+10+1=21=3\cdot 7}$) oraz ${\displaystyle 2\ \varrho \ 2}$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ ${\displaystyle 2+2+1=5}$).

Przypisy

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155. ISBN 83-01-14415-7.