Rodzina indeksowana

Rodzina indeksowana, układ indeksowany lub po prostu układ – zbiór elementów powiązanych z indeksami; uogólnienie pojęcia ciągu na funkcje określone na dowolnych zbiorach indeksów. Formalnie funkcja traktowana koncepcyjnie jak zbiór (zob. dalej).

Przykładowo:

• układ liczb rzeczywistych indeksowany liczbami całkowitymi to zbiór liczb rzeczywistych, gdzie każda liczba całkowita jest powiązana z jedną liczbą rzeczywistą, bądź
• rodzina prostych (będących zbiorami) indeksowana liczbami naturalnymi to zbiór prostych, gdzie każda liczba naturalna ma przypisaną do niej prostą.

Definicja

Układem lub rodziną elementów zbioru ${\displaystyle X}$ indeksowaną przez (o indeksach/wskaźnikach ze zbioru) ${\displaystyle I}$ nazywa się funkcję ${\displaystyle x\colon I\to X}$^[1] oznaczaną symbolami ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I},}$ bądź po prostu ${\displaystyle \{x_{i}\};}$ obrazy ${\displaystyle x(i)}$ oznacza się zwyczajowo ${\displaystyle x_{i}}$^[1].

Dowolny zbiór ${\displaystyle X}$ można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę ${\displaystyle (x)_{x\in X}}$ indeksowaną elementami tego zbioru. W szczególności: gdy ${\displaystyle X=\{x_{i}\}_{i=1}^{n},}$ to można wyróżnić związany z tym zbiorem układ elementów ${\displaystyle (x_{i})_{i=x_{1}}^{x_{n}}}$^[1].

Elementy zbioru ${\displaystyle X}$ same mogą być zbiorami, wówczas mówi się o rodzinach zbiorów indeksowanych przez ${\displaystyle I.}$ Wtedy funkcja ${\displaystyle x\colon I\to {\mathcal {P}}(X)}$ odwzorowuje zbiór indeksów w zbiór potęgowy pewnego zbioru ${\displaystyle X.}$

Rodzinę/układ ${\displaystyle (y_{j})_{j\in J}}$ nazywa się podrodziną/podukładem rodziny/układu ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I},}$ gdy ${\displaystyle J\subseteq I}$ oraz ${\displaystyle y_{j}=x_{j}}$ dla każdego ${\displaystyle j\in J}$^[1].

Przykłady

Niech ${\displaystyle [n]}$ oznacza zbiór skończony ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ (${\displaystyle n}$ oznacza dodatnią liczbę całkowitą). Wówczas:

• para uporządkowana to układ/rodzina indeksowana o wskaźnikach ze zbioru dwuelementowego ${\displaystyle [2]=\{1,2\},}$
• n-tka to rodzina indeksowana przez ${\displaystyle [n],}$
• ciąg nieskończony to układ/rodzina indeksowana liczbami naturalnymi,
• macierz typu ${\displaystyle n\times m}$ to rodzina indeksowana iloczynem kartezjańskim ${\displaystyle [n]\times [m],}$
• sieć to rodzina zbiorów indeksowana przez zbiór skierowany.

Rodzina a zbiór

Funkcje „na” (surjektywne) i rodziny indeksowane są formalnie równoważne – każda funkcja ${\displaystyle f\colon I\to X}$ zadaje rodzinę ${\displaystyle {\big (}f(i){\big )}_{i\in I}.}$ Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest różnowartościowa (iniektywna).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór ${\displaystyle X:={\big \{}f(i)\colon i\in I{\big \}},}$ czyli obraz ${\displaystyle f,}$ w którym elementy ${\displaystyle f(i)=f(j)}$ dla ${\displaystyle i\neq j}$ utożsamiane są z elementami zbioru ${\displaystyle X.}$ Gleichgewicht obrazuje to następująco: gdy układ jest ciągiem, to podukład jest podciągiem; a gdy jest zbiorem, podukład jest podzbiorem^[1].

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze ${\displaystyle I.}$

Notacja wskaźnikowa

Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie:

Wektory ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ są liniowo niezależne.

Tutaj ${\displaystyle (\mathbf {v} _{i})_{i\in \{1,\dots ,n\}}}$ oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na ${\displaystyle i}$-ty wektor ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje ${\displaystyle i}$-ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla ${\displaystyle n=2}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {v} _{2}:=[1,0]}$ zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze

Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie:

Macierz kwadratowa ${\displaystyle A}$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze ${\displaystyle A}$ są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze ${\displaystyle A}$ są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},}$

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu ${\displaystyle [1,1],}$ co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak wiec zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

Działania

Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}.}$

Sumę rodziny zbiorów ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ oznacza się analogicznie:

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}.}$

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

Uogólnienia

Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii ${\displaystyle \mathbf {C} ,}$ indeksowany przez inną kategorię ${\displaystyle \mathbf {J} .}$

Zobacz też

• koprodukt
• rekord z wariantami
• rodzina parametryzowana
• suma rozłączna
• tablica

Literatura

• Japońskie Towarzystwo Matematyczne, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, wyd. II, 2 tomy, Kiyosi Itô (red.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993; cytowane jako EDM (tom).

Przypisy