Rozdzielność działania

Rozdzielność działania (a. dystrybutywność działania) – specyficzna własność działania dwuargumentowego względem innego działania dwuargumentowego.

Wprowadzenie

Zależność między mnożeniem a dodawaniem liczb postaci

${\displaystyle 7\cdot (5+4)=7\cdot 5+7\cdot 4,}$

i podobnie z przestawioną kolejnością czynników,

${\displaystyle (8+4)\cdot 5=8\cdot 5+4\cdot 5,}$

wykorzystuje się, niekiedy nieświadomie, podczas prowadzenia obliczeń w pamięci:

${\displaystyle 13\cdot 6=(10+3)\cdot 6=10\cdot 6+3\cdot 6=60+18=78,}$

czyli (w tym przypadku) mnożenia przez ustaloną liczbę osobno dziesiątek i jedności danej liczby.

Można też uzupełnić jeden z czynników do „okrągłej” liczby, której iloczyn łatwo obliczyć, a następnie zrównoważyć obliczenia osobno odliczając dodaną nadwyżkę:

${\displaystyle 4\cdot 19=4\cdot (20-1)=4\cdot 20-4\cdot 1=80-4=76.}$

Role mnożenia i dodawania/odejmowania w powyższych przykładach są dokładnie określone i nie można ich zamienić bez szkody dla poprawności obliczeń:

${\displaystyle 7+(2\cdot 3)\neq (7+2)\cdot (7+3).}$

W przypadku dzielenia regułę zaobserwowaną dla mnożenia można stosować tylko częściowo: choć

${\displaystyle (16+4):4=(16:4)+(4:4),}$

to jednak

${\displaystyle 30:(5-2)\neq (30:5)-(30:2).}$

Zapisując dzielenie w postaci ułamka obliczenia można przeprowadzić zgodnie z następującym przykładem:

${\displaystyle {\frac {8+6}{2}}={\frac {8}{2}}+{\frac {6}{2}},}$

ale mimo wszystko, podobnie jak wyżej:

${\displaystyle {\frac {4}{2+4}}\neq {\frac {4}{2}}+{\frac {4}{4}}.}$

Definicja

Niech ${\displaystyle \circ }$ oraz ${\displaystyle \heartsuit }$ oznaczają działania dwuargumentowe określone na ustalonym zbiorze ${\displaystyle S}$^[a]. Działanie ${\displaystyle \circ }$ jest względem ${\displaystyle \heartsuit }$^[1]:

• rozdzielne lewostronnie, gdy dla dowolnych ${\displaystyle a,b,c\in S}$

  ${\displaystyle a\circ (b\;\heartsuit \;c)=(a\circ b)\;\heartsuit \;(a\circ c);}$

• rozdzielne prawostronnie, gdy dla dowolnych ${\displaystyle a,b,c\in S}$

  ${\displaystyle (a\;\heartsuit \;b)\circ c=(a\circ c)\;\heartsuit \;(b\circ c);}$

• rozdzielne obustronnie lub krótko rozdzielne, gdy

  zachodzą oba powyższe warunki.

Jeśli działanie ${\displaystyle \circ }$ jest przemienne, to powyższe warunki są równoważne logicznie i wynikają one wszystkie z jednego z nich.

Przykłady

Arytmetyka

Dla dowolnych liczb (całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych) ${\displaystyle a,b,c}$

• mnożenie jest rozdzielne względem dodawania^[2] i odejmowania:

  ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c),}$

  ${\displaystyle a\cdot (b-c)=(a\cdot b)-(a\cdot c);}$

• minimum i maksimum są rozdzielne względem siebie nawzajem:

  ${\displaystyle \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)),}$

  ${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c));}$

• największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność są wzajemnie rozdzielne:

  ${\displaystyle \operatorname {nwd} (a,\operatorname {nww} (b,c))=\operatorname {nww} (\operatorname {nwd} (a,b),\operatorname {nwd} (a,c)),}$

  ${\displaystyle \operatorname {nww} (a,\operatorname {nwd} (b,c))=\operatorname {nwd} (\operatorname {nww} (a,b),\operatorname {nww} (a,c));}$

• dodawanie jest rozdzielne względem maksimum i minimum:

  ${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c),}$

  ${\displaystyle a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$

Teoria mnogości

Dla dowolnie wybranych zbiorów ${\displaystyle A,B,C}$

• część wspólna i suma zbiorów są rozdzielne względem siebie nawzajem:

  ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),}$

  ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$

Rachunek zdań

Dla jakkolwiek ustalonych zdań logicznych ${\displaystyle p,q,r}$

• koniunkcja i alternatywa są wzajemnie rozdzielne:

  ${\displaystyle p\land (q\lor r)=(p\land q)\lor (p\land r),}$

  ${\displaystyle p\lor (q\land r)=(p\lor q)\land (p\lor r).}$

Teoria kategorii

Dla dowolnie wybranych obiektów ${\displaystyle a,b,c}$ kategorii dwukartezjańsko domkniętej^[b][c]

• produkt jest rozdzielny względem koproduktu:

  ${\displaystyle a\times (b+c)\simeq a\times b+a\times c.}$

Uogólnienia

Najważniejszymi strukturami matematycznymi, w których zakłada się rozdzielność działań są pierścienie (a więc i ciała) oraz kraty rozdzielne [dystrybutywne] (w tym algebry pseudoboolowskie [Heytinga] i algebry boolowskie [Boole’a]).

Definicje pierścienia uogólnia się na wiele sposobów (np. półpierścień) zachowując przynajmniej jednostronną rozdzielność mnożenia względem dodawania. Rozdzielność działań można zaobserwować również w przypadku wielu innych ważnych par działań niezwiązanych (bezpośrednio) z pierścieniami: pokazują to powyższe przykłady par działań teoriomnogościowych, ${\displaystyle \cap }$ i ${\displaystyle \cup ,}$ oraz rachunku zdań, ${\displaystyle \land }$ i ${\displaystyle \lor .}$

Mnożenie przez ustalony element (z lewej lub prawej strony) traktowane jako operator jest w istocie funkcją addytywną w danym pierścieniu^[d]. Takie spojrzenie na mnożenie umożliwiło rozpatrywanie działań zewnętrznych względem ustalonej grupy addytywnej, co doprowadziło do rozwinięcia teorii m.in. działań grup na zbiorach, modułów nad pierścieniami (przestrzeni liniowych nad ciałami; w tym modułów/przestrzeni sprzężonych), czy grup z operatorami.

Zobacz też

• przemienność
• łączność
• prawa de Morgana
• modularność

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6.
• Garret Birkhoff, Saunders Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 30.