Rozkład Dirichleta

Rozkład Dirichleta

Gęstość prawdopodobieństwa Kilka wykresów gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu Dirichleta, kiedy ${\displaystyle K=3}$ dla różnych parametrów wektorów ${\displaystyle \alpha .}$ Zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara od górnego lewego: ${\displaystyle \alpha ={}}$(6; 2; 2), (3; 7; 5), (6; 2; 6), (2; 3; 4).
Parametry	${\displaystyle K\geqslant 2}$ ilość kategorii (całkowitych) ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}}$ parametry skupienia, gdzie ${\displaystyle \alpha _{i}>0}$
Nośnik	${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{K}}$ gdzie ${\displaystyle x_{i}\in [0,1]}$ oraz ${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}x_{i}=1}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\big (}\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}{\big )}}}}$ gdzie ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\sum _{k}\alpha _{k}}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\textstyle \sum _{k}\alpha _{k})}$
Moda	${\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}-K}},\quad \alpha _{i}>1.}$
Wariancja	${\displaystyle \mathrm {Var} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}},}$ gdzie ${\displaystyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}~~(i\neq j)}$
Entropia	${\displaystyle H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha )+(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-\sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})}$

Rozkład Dirichleta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa wielu zmiennych, określona wektorem ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ dodatnich liczb rzeczywistych. Stanowi uogólnienie rozkładu beta w przestrzeni wielu zmiennych. Rozkład Dirichleta jest często używany w rachunku prawdopodobieństwa wraz z twierdzeniem Bayesa jak rozkład aprioryczny i faktycznie rozkład Dirichleta jest rozkładem komunigacyjnym rozkładu dyskretnego. W efekcie funkcja rozkładu zwraca przekonanie, że prawdopodobieństwo ${\displaystyle K}$ możliwych zdarzeń losowych wynosi ${\displaystyle x_{i}}$ biorąc pod uwagę, że każde zdarzenie zostało zaobserwowane ${\displaystyle \alpha _{i}-1}$ razy.

Wielowymiarowym uogólnieniem rozkładu Dirichleta jest proces Dirichleta.

Definicja formalna

Wykres ilustruje jak zmienia się logarytm funkcji rozkładu kiedy ${\displaystyle K=3}$ i zmieniany jest wektor ${\displaystyle \alpha }$ od ${\displaystyle \alpha ={}}$(0,3, 0,3, 0,3) do (2,0, 2,0, 2,0), zachowując wszystkie ${\displaystyle \alpha _{i}}$ równe sobie nawzajem.

Rozkład Dirichleta rzędu ${\displaystyle K\geqslant 2}$ z parametrami ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}>0}$ ma funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w mierze Lebesgue’a dla przestrzeni euklidesowej R^K−1 określoną zależnością:

${\displaystyle f\left(x_{1},\dots ,x_{K-1};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},}$

na otwartym zbiorze ${\displaystyle (K-1)}$-wymiarowego sympleksu określonego jako:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1},\dots ,x_{K-1}>0\\&x_{1}+\cdots +x_{K-1}<1\\&x_{K}=1-x_{1}-\cdots -x_{K-1}\end{aligned}}}$

oraz zero poza.

Stałą normalizującą jest wielomianowa funkcja B, którą można wyrazić w zależności od funkcji gamma:

${\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}).}$

Nośnik

Nośnikiem rozkładu Dirichleta jest zbiór ${\displaystyle K}$-wymiarowych wektorów ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ określonych liczbami rzeczywistymi w zakresie (0,1), tak więc ${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}=1,}$ co znaczy że suma wszystkich składowych jest 1. Mogą być one przedstawiane jako prawdopodobieństwa ${\displaystyle K}$-wymiarowego zdarzenia. Należy zauważyć, iż w praktyce zbiór punktów w nośnika dla ${\displaystyle K}$-wymiarowego rozkładu Dirichleta jest zamkniętym zbiorem ${\displaystyle (K-1)}$-sympleksów, znajdujących się w przestrzeni ${\displaystyle K}$-wymiarowej. Przykładowo dla ${\displaystyle K=3}$ jest to trójkąt równoboczny zawarty w trójwymiarowej przestrzeni z wierzchołkami (1;0;0), (0;1;0) oraz (0;0;1), „dotykający” każdej z osi w odległości 1 od początku układu współrzędnych.

Zobacz też

• rozkład dwumianowy
• rozkład normalny

Linki zewnętrzne

• „Statystyka w ujęciu Bayesowskim” na UPGOW
• Niemiro, W. „Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo”, skrypt dla studentów MIMUW