Rozkład Erlanga

Rozkład Erlanga

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle k>0}$ parametr kształtu (liczba całkowita) ${\displaystyle \lambda >0}$ częstość (liczba rzeczywista) alt.: ${\displaystyle \theta =1/\lambda >0}$ parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!\,}}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}/n!}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle k/\lambda }$
Mediana	Nie da się zapisać w prostej postaci
Moda	${\displaystyle (k-1)/\lambda }$ dla ${\displaystyle k\geqslant 1}$
Wariancja	${\displaystyle k/\lambda ^{2}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropia	${\displaystyle k/\lambda +(k-1)\ln(\lambda )+\ln((k-1)!)}$ ${\displaystyle +(1-k)\psi (k)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle (1-t/\lambda )^{-k}}$ dla ${\displaystyle t<\lambda }$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle (1-it/\lambda )^{-k}}$
Odkrywca	Agner Krarup Erlang

Rozkład Erlanga – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A.K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.

Związek z rozkładem wykładniczym jest następujący. Dla ciągu niezależnych zmiennych losowych ${\displaystyle (X_{i})_{i\leq n}}$ , z których każda ma rozkład wykładniczy z jednakowym parametrem ${\displaystyle \lambda }$ , zmienna losowa ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ ma rozkład Erlanga z parametrami ${\displaystyle k=n,\ \theta =1/{\lambda }.}$ Wynika to bezpośrednio z postaci funkcji charakterystycznej rozkładu wykładniczego.