Rozkład Laplace’a

Rozkład Laplace’a

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ wartość średnia ${\displaystyle b>0}$ parametru skali
Nośnik	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)}$
Dystrybuanta	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{dla }}x\leqslant \mu \\[8pt]1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{dla }}x\geqslant \mu \end{cases}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle \mu }$
Mediana	${\displaystyle \mu }$
Moda	${\displaystyle \mu }$
Wariancja	${\displaystyle 2b^{2}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle 0}$
Kurtoza	${\displaystyle 3}$
Entropia	${\displaystyle \ln(2be)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle {\frac {\exp(\mu t)}{1-b^{2}t^{2}}}{\text{ dla }}|t|<1/b}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle {\frac {\exp(\mu it)}{1+b^{2}t^{2}}}}$
Odkrywca	Pierre Simon de Laplace

Rozkład Laplace’a – ciągły rozkład prawdopodobieństwa nazwany na cześć Pierre’a Laplace’a.

Rozkład Laplace’a nazywany jest także czasem dwustronnym rozkładem wykładniczym, gdyż powstaje podczas odejmowania dwóch rozkładów wykładniczych. Ściślej mówiąc, jeśli ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem ${\displaystyle \lambda =1/b,}$ to zmienna losowa

${\displaystyle \mu +X_{1}-X_{2}}$

ma rozkład Laplace’a o średniej ${\displaystyle \mu }$ i czynniku skali ${\displaystyle b}$^[1].

Rozkład Laplace’a powstaje także, kiedy mnożymy zmienną o rozkładzie wykładniczym przez losowy znak. Dokładniej, jeśli ${\displaystyle X}$ ma rozkład wykładniczy z parametrem ${\displaystyle \lambda =1/b,}$ a ${\displaystyle Y}$ ma rozkład jednostajny na zbiorze ${\displaystyle \{-1,1\}}$ oraz zmienne ${\displaystyle X,Y}$ są niezależne, to zmienna ${\displaystyle XY}$ ma rozkład Laplace’a o średniej ${\displaystyle 0}$ i skali ${\displaystyle b}$^[2].

Zobacz też

• rozkład wykładniczy
• zmienna losowa

Przypisy

Bibliografia

• Rozkład Laplace’a. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.)
• Wojciech Niemiro, Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo, Uniwersytet Warszawski.