Rozkład Studenta
Gęstość prawdopodobieństwa | |
Dystrybuanta![]() | |
Parametry | stopni swobody (liczba rzeczywista) |
---|---|
Nośnik | |
Gęstość prawdopodobieństwa | |
Dystrybuanta |
|
Wartość oczekiwana (średnia) | w przeciwnym wypadku nieokreślona |
Mediana | |
Moda | |
Wariancja | w przeciwnym wypadku nieokreślona |
Współczynnik skośności | |
Kurtoza | |
Entropia | |
Funkcja tworząca momenty | (nieokreślona) |
Odkrywca | William Sealy Gosset (1908) |
Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład t – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów a niezależną od
Definicja
Rozkład Studenta z stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej postaci:
gdzie:
- jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny
- jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o stopniach swobody
- i są niezależne.
Gęstość prawdopodobieństwa
Zmienna losowa określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:
gdzie to funkcja gamma.
Dowód. Niech i będą takie jak wyżej. Zmienna ma rozkład chi o stopniach swobody, a więc gęstość wyraża się wzorem
Rozważmy zmienną
Wówczas
a zatem całkując przez podstawienie obserwujemy, że
Zmienna ma zatem rozkład Jej gęstość jest więc postaci
Niech Wówczas powyższa całka przyjmuje postać
Gęstość rozkładu gamma wyraża się wzorem
Oznacza to, że
a stąd
Ostatecznie
Własności
Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości zmierzają do standardowego rozkładu normalnego Dla małych różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu w szczególności dla rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).
Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego
Zastosowania
Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:
- Niech zmienne losowe mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna będzie określona wzorem:
- gdzie jest wartością średnią z próby, zaś – odchyleniem standardowym z próby.
- Wówczas zmienna ma rozkład Studenta o stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ).
- gdzie jest wartością średnią z próby, zaś – odchyleniem standardowym z próby.
- Jeżeli dwie próby o liczebnościach oraz wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna określona wzorem:
- ma rozkład Studenta o stopniach swobody.
Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych – gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).
W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody i przyjętego poziomu istotności
Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości że lub Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.
Bibliografia
- Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.
Linki zewnętrzne
- VassarStats. vassarstats.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-04)]. Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S). [dostęp 2009-05-27]. (ang.). (O historii terminu „Rozkład Studenta”)
- Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F
- Kalkulator rozkładu – polski kalkulator online szacujący wartość statystyki t Studenta dla zadanej liczby stopni swobody
- Tablice podstawowych rozkładów rachunku prawdopodobieństwa
Media użyte na tej stronie
Autor: Nieznany , Licencja: CC-BY-SA-3.0
The CDF of the t-distribution
bitmap(file="t_distributionCDF.png",type="png256",width=4,height=4,res=300,pointsize=12) par(mar=c(3,3,1,1)) x <- seq(-5,5,len=1000) plot(range(x),c(0,1),type="n") lines(x,pt(x,df=1),col="black",lwd=3) lines(x,pt(x,df=2),col="blue",lwd=3) lines(x,pt(x,df=5),col="green",lwd=3) lines(x,pt(x,df=10),col="yellow",lwd=3) lines(x,pt(x,df=Inf),col="grey",lwd=3) legend(2,0.5,legend=c("k=1","k=2","k=5","k=10","k=Inf"),col=c("black","blue","green","yellow","grey"),lwd=3,bty="n") dev.off()
Autor: Oryginalnym przesyłającym był Thorin z francuskiej Wikipedii, Licencja: CC BY-SA 1.0
production personelle.
Usage et reproduction libreAutor: Autor nie został podany w rozpoznawalny automatycznie sposób. Założono, że to KaWus1093~commonswiki (w oparciu o szablon praw autorskich)., Licencja: CC-BY-SA-3.0
Author/autor: Konrad Witkowski (KaWus), KaWus1093 14:20, 24 June 2006 (UTC)
Creation date/Data utworzenia:14:20, 24 June 2006 (UTC)