Rozkład Voigta

(wyśrodkowany) rozkład Voigta
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle \gamma ,\sigma >0}$
Nośnik	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Gęstość prawdopodobieństwa	złożona
Dystrybuanta	złożona
Wartość oczekiwana (średnia)	nieokreślona
Mediana	${\displaystyle 0}$
Moda	${\displaystyle 0}$
Wariancja	nieokreślona
Współczynnik skośności	nieokreślona
Kurtoza	nieokreślona
Funkcja tworząca momenty	nieokreślona
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle e^{-\gamma |t|-\sigma ^{2}t^{2}/2}}$

Rozkład Voigta (profil Voigta) – rozkład prawdopodobieństwa otrzymywany przez splot rozkładu Cauchy’ego-Lorentza i rozkładu Gaussa. Jest często stosowany w analizie danych w spektroskopii i dyfrakcji. Rozkład nazwano na cześć Woldemara Voigta.

Definicja

Bez straty ogólności możemy rozważać pod uwagę tylko wycentrowane rozkłady, to jest takie, których punkt największej gęstości jest równy zeru. Rozkład Voigta powstaje w wyniku dodawania zmiennej losowej o rozkładzie Cauchy’ego i drugiej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, obydwie o medianie zero. Wynika z tego, że gęstość rozkładu Voigta jest splotem gęstości tych rozkładów:

${\displaystyle V_{\sigma ,\gamma }(x)=\int _{-\infty }^{\infty }G_{\sigma }(y)L_{\gamma }(x-y)\,dy,}$

gdzie ${\displaystyle \sigma ,\gamma }$ są parametrami rozkładu Voigta i jednocześnie odpowiednio pierwiastkiem z wariancji rozkładu normalnego oraz czynnikiem skali rozkładu Cauchy’ego. Funkcja ${\displaystyle G_{\sigma }}$ to gęstość rozkładu normalnego o średniej zero:

${\displaystyle G_{\sigma }(x)={\frac {e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}$

a ${\displaystyle L_{\gamma }}$ jest wyśrodkowanym rozkładem Cauchy’ego-Lorentza:

${\displaystyle L_{\gamma }(x)={\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2})}}}$^[1][2].

W przypadkach granicznych ${\displaystyle \sigma =0}$ i ${\displaystyle \gamma =0}$ następnie ${\displaystyle V_{\sigma ,\gamma }}$ upraszcza do odpowiednio ${\displaystyle L_{\gamma }}$ i ${\displaystyle G_{\sigma }.}$

Zastosowania

W spektroskopii rozkład Voigta wynika ze splotu dwóch mechanizmów poszerzających linie widmowe, z których jeden ma rozkład normalny (zwykle jest to poszerzenie dopplerowskie), a drugi ma rozkład Lorentza (naturalne poszerzenie widma). Z tego powodu profile Voigta są powszechne w wielu gałęziach spektroskopii i dyfrakcji^[2].

Przypisy