Rozkład Weibulla

Rozkład Weibulla (dwuparametrowy)

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle \lambda >0}$ parametr skali (liczba rzeczywista) ${\displaystyle k>0}$ parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle (k/\lambda )(x/\lambda )^{(k-1)}e^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle 1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$
Mediana	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k}}$
Moda	${\displaystyle \lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}}$ dla ${\displaystyle k>1}$
Wariancja	${\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle {\tfrac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$
Entropia	${\displaystyle \gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$
Odkrywca	Waloddi Weibull (1939, 1951)

Rozkład Weibulla – ciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w analizie przeżycia do modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo śmierci/awarii zmienia się w czasie.

Może on w zależności od parametrów przypominać zarówno rozkład normalny (dla dużych ${\displaystyle k}$), jak i rozkład wykładniczy (sprowadza się do niego dla ${\displaystyle k=1}$).

Parametr ${\displaystyle k}$ rozkładu określa zachowanie prawdopodobieństwa awarii (śmierci) w czasie:

• dla ${\displaystyle k<1}$ prawdopodobieństwo awarii (śmierci) maleje z czasem. W przypadku modelowania awarii urządzenia sugeruje to, że egzemplarze mogą posiadać wady fabryczne i powoli wypadają z populacji,
• dla ${\displaystyle k=1}$ (rozkład wykładniczy) prawdopodobieństwo jest stałe. Sugeruje to, że awarie mają charakter zewnętrznych zdarzeń losowych,
• dla ${\displaystyle k=2}$ (rozkład Rayleigha) prawdopodobieństwo rośnie liniowo z czasem,
• dla ${\displaystyle k>1}$ prawdopodobieństwo rośnie z czasem. Sugeruje to zużycie części z upływem czasu jako główną przyczynę awaryjności.

Parametr ${\displaystyle \lambda }$ można zinterpretować jako czas po którym zginie ${\displaystyle 1-{\frac {1}{e}}\approx 63{,}2\%}$ osobników (porównaj wartość charakterystyczna przeżycia).

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

Waloddi Weibull. A statistical distribution function of wide applicability. „J. Appl. Mech.-Trans. ASME”. 18(3), s. 293–297, 1951.