Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa
|
Dystrybuanta
|
Parametry | parametr kształtu (liczba rzeczywista) parametr kształtu (liczba rzeczywista) |
---|
Nośnik | |
---|
Gęstość prawdopodobieństwa | |
---|
Dystrybuanta | [a] |
---|
Wartość oczekiwana (średnia) | |
---|
Moda | dla |
---|
Wariancja | |
---|
Współczynnik skośności | |
---|
Kurtoza | |
---|
Entropia | |
---|
Funkcja tworząca momenty | |
---|
Funkcja charakterystyczna | |
---|
Odkrywca | Corrado Gini (1911) |
---|
Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa zadana za pomocą funkcji gęstości
gdzie:
- – zmienna, – parametry rozkładu, tzw. parametry kształtu,
- – stała zależna od i normująca rozkład do 1, tj.
gdzie:
- – funkcja beta,
- – funkcja gamma.
Gdy to rozkład beta przyjmuje postać rozkładu jednostajnego.
Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:
Właściwości
Miary tendencji centralnej
Średnia
Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów i [1]:
Jeśli oba parametry są równe, rozkład jest symetryczny ze średnią Wraz z dążeniem proporcji parametrów i do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału
Dominanta
Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja[1]:
Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.
Miary rozproszenia
Wariancja
Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów i [1]:
Wraz z dążeniem parametrów do zera, rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji Przy rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.
Uwagi
- ↑
gdzie:
– niekompletna funkcja beta.
Przypisy
- ↑ a b c Chapter 21: Beta Distributions, [w:] Kotz i inni, Continuous univariate distributions, Wiley, 1995, ISBN 978-0-471-58494-0, OCLC 29428092 .
Bibliografia
- Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:
- Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133–171.
Rozkłady statystyczne
Rozkłady ciągłe | |
---|
Rozkłady dyskretne | |
---|