Rozkład logistyczny
Gęstość prawdopodobieństwa
![Ilustracja](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Logisticpdfunction.png/240px-Logisticpdfunction.png) |
Dystrybuanta
![Ilustracja](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Logistic_cdf.png/240px-Logistic_cdf.png) |
Parametry | parametr położenia (liczba rzeczywista) parametr skali (liczba rzeczywista) |
---|
Nośnik |
|
---|
Gęstość prawdopodobieństwa |
|
---|
Dystrybuanta |
|
---|
Wartość oczekiwana (średnia) |
|
---|
Mediana |
|
---|
Moda |
|
---|
Wariancja |
|
---|
Współczynnik skośności |
|
---|
Kurtoza |
|
---|
Entropia |
|
---|
Funkcja tworząca momenty | dla funkcja beta
|
---|
Funkcja charakterystyczna | dla
|
---|
Rozkład logistyczny – ciągły rozkład prawdopodobieństwa używany w szczególności do opisu analitycznego procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.
Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną
wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:
oraz
Symetria
Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej który jest jednocześnie medianą rozkładu.
Kwantyle
Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:
Zastosowanie
Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nieliniowej metodzie najmniejsczych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.
Przykład
Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ² = 4 lata². Można więc zapisać
- oraz
Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:
A więc ok. 15% wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.
Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95% wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.
Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym ) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.
Rozkłady statystyczne
Rozkłady ciągłe | |
---|
Rozkłady dyskretne | |
---|