Rozkład trójkątny

Rozkład trójkątny
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle b:~b>a}$ ${\displaystyle c:~a\leqslant c\leqslant b}$
Nośnik	${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {dla\ } a\leqslant x\leqslant c\\&\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {dla\ } c\leqslant x\leqslant b\end{matrix}}\right.}$
Dystrybuanta	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {dla\ } a\leqslant x\leqslant c\\&\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {dla\ } c\leqslant x\leqslant b\end{matrix}}\right.}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$
Mediana	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&\mathrm {dla\ } c\!\geqslant \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\\&\\b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&\mathrm {dla\ } c\!\leqslant \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\end{matrix}}\right.}$
Moda	${\displaystyle c}$
Wariancja	${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle 2{\tfrac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle -2{\tfrac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$

Rozkład trójkątny to ciągły rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu trójkątnego można też wyrazić jako:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{cll}0&{\text{dla}}&x<\mu -{\sqrt {6}}\sigma \\{\frac {x-\mu }{6\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{{\sqrt {6}}\sigma }}&{\text{dla}}&\mu -{\sqrt {6}}\sigma \leqslant x\leqslant \mu \\-{\frac {x-\mu }{6\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{{\sqrt {6}}\sigma }}&{\text{dla}}&\mu \leqslant x\leqslant \mu +{\sqrt {6}}\sigma \\0&{\text{dla}}&x>\mu +{\sqrt {6}}\sigma \end{array}}\right.,}$

gdzie:

${\displaystyle \sigma }$ – odchylenie standardowe,

${\displaystyle \mu }$ – wartość średnia.

Zobacz też

• statystyka