Rozmaitość gładka

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem Rozmaitość różniczkowalna. Nie opisano powodu propozycji integracji.

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem rozmaitość różniczkowa. Nie opisano powodu propozycji integracji.

Rozmaitość gładka (o wymiarze ${\displaystyle m}$) – podzbiór ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{k}}$ o tej własności, że każdy punkt ${\displaystyle x\in M}$ ma otoczenie ${\displaystyle W\cap M,}$ które jest dyfeomorficzne z otwartym podzbiorem ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m}}$^[1]. Na ogół w literaturze przez rozmaitość gładką rozumie się rozmaitość różniczkowalną klasy ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$^[2][3]. Wtedy przez dyfeomorfizm rozumie się dyfeomorfizm klasy ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }.}$ Czasami autorzy zakładają, że klasa gładkości jest taka, jaka jest potrzebna do przeprowadzenia rozumowań, tzn. zawsze co najmniej ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1},}$ ale jeśli to jest potrzebne (przy badaniu punktów krytycznych), to co najmniej ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ itd.^[4]

Pojęcie rozmaitości gładkiej

Powyższa definicja dotyczy tak zwanej rozmaitości bez brzegu lub inaczej rozmaitości zamkniętej. W topologii rozpatruje się także rozmaitości z brzegiem, której niektóre punkty są dyfeomorficzne z półprzestrzeniami przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$

Twierdzenie o funkcji uwikłanej jako źródło przykładów rozmaitości gładkich

Twierdzenie o funkcji uwikłanej jest źródłem wielu przykładów rozmaitości gładkich. Niech w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ będzie dany zbiór ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ punktów ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n}),}$ których współrzędne ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ spełniają układ równań

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\...........................\\f_{s}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{cases}}}$

Wtedy jeśli rząd macierzy Jacobiego

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

tego układu jest wszędzie na zbiorze ${\displaystyle X}$ równy ${\displaystyle k,}$ to zbiór ten jest rozmaitością gładką wymiaru ${\displaystyle n-k}$^[5].

Przykłady rozmaitości gładkich

Torus deformujący się do sfery dwuwymiarowej.

• Sfera ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowa w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest rozmaitością gładką.
• Torus jest 2-wymiarową rozmaitością gładką.
• Przestrzeń rzutowa ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową rozmaitością gładką.

Przypisy