Rozmaitość różniczkowa

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem rozmaitość różniczkowalna (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji.

(1) Przykład wprowadzenia rozmaitości różniczkowej klasy ${\displaystyle C^{0}}$ na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają linie współrzędnych, które są krzywymi w ogólności niegładkimi (na mapie środkowej i z prawej strony zwrotnik Raka jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie – ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). (2) Aby rozmaitość różniczkowa była klasy ${\displaystyle C^{1}}$ (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach współrzędne krzywoliniowe, których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.

Rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów da się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe.

Rozmaitość różniczkowa to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są klasy co najmniej ${\displaystyle C^{1},}$ tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych lokalnych baz wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie gradientu, dywergencji, rotacji na polach tensorowych – skalarnych, wektorowych itd.

Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się mapą (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się atlasem.

Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla sfery nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$).

Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny tensor metryczny).

Definicja rozmaitości różniczkowej

Przestrzeń topologiczną ${\displaystyle \mathbb {X} }$ nazywamy rozmaitością różniczkową ${\displaystyle n}$-wymiarową, jeśli

• dla każdego punktu ${\displaystyle x\in \mathbb {X} }$ istnieje zawierające go otwarte i spójne otoczenie ${\displaystyle U\subset \mathbb {X} ,}$
• dla każdego otoczenia ${\displaystyle U}$ został zdefiniowany homeomorfizm ${\displaystyle \phi \colon U\to \phi (U)}$ na otwarty zbiór ${\displaystyle \phi (U)}$ przestrzeni wektorowej ${\displaystyle n}$-wymiarowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ liczb rzeczywistych (tj. każdemu punktowi tego otoczenia przyporządkowany został w sposób wzajemnie jednoznaczny jeden punkt przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).

Mapa, atlas, klasa rozmaitości, atlas zupełny

Definicje:

(a) Homeomorfizm ${\displaystyle \phi \colon U\to \phi (U)}$ nazywa się mapą na rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} .}$

(b) Rodzina ${\displaystyle \Phi =\{\phi _{l}\}_{l\in I}}$ map nazywa się atlasem rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ,}$ gdy dziedziny ${\displaystyle U_{l}}$ homeomorfizmów ${\displaystyle \phi _{l}}$ pokrywają rozmaitość ${\displaystyle \mathbb {X} ,}$ tj.

(c) Jeżeli homeomorfizmy są klasy ${\displaystyle C^{k},}$ to rozmaitość nazywa się rozmaitością różniczkową klasy ${\displaystyle C^{k}.}$

(d) Atlasem zupełnym (maksymalnym) klasy ${\displaystyle C^{k}}$ lub ${\displaystyle C^{k}}$ – strukturą na rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} }$ nazywa się największy spośród atlasów klasy ${\displaystyle C^{k}}$ na ${\displaystyle \mathbb {X} ,}$ tzn. zawierający w sensie mnogościowym wszystkie atlasy klasy ${\displaystyle C^{k}.}$

Rozmaitości różniczkowe klasy ${\displaystyle C^{0},}$ ${\displaystyle C^{n}}$ oraz ${\displaystyle C^{\omega }}$

W definicji rozmaitości można zażądać odpowiednio wysokiej gładkości poprzez żądanie, by funkcje tworzące mapy były odpowiednio wysokiej klasy. Wprowadza się przy tym definicje:

• Rozmaitością różniczkową klasy ${\displaystyle C^{0}}$ nazywa się rozmaitość topologiczną, która nie posiada map klasy ${\displaystyle C^{1}.}$
• Rozmaitością różniczkową klasy ${\displaystyle C^{n}}$ nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy ${\displaystyle C^{n},}$ gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}.}$
• Rozmaitością klasy ${\displaystyle C^{\omega }}$ nazywa się rozmaitość analityczną.

Zobacz też

Pojęcia ogólne

• rozmaitość gładka
• rozmaitość różniczkowalna
• rozmaitość riemannowska
• rozmaitość pseudoriemannowska
• współrzędne uogólnione

Operacje różniczkowe

• dywergencja
• gradient
• rotacja
• Laplasjan

Inne

• wektor styczny
• wektor normalny

Bibliografia

• T. Trajdos: Matematyka część III. Warszawa: PWN, 1993. ​ISBN 83-204-1547-0​.