Rozwinięcie Laplace’a

Rozwinięcie Laplace’a – wzór rekurencyjny określający wyznacznik -tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach Nazwa wzoru pochodzi od francuskiego matematyka Laplace’a.

Niech Wówczas:

  • dla każdego ustalonego zachodzi
  • dla każdego ustalonego zachodzi

gdzie:

jest elementem macierzy w -tym wierszu i -tej kolumnie,
jest dopełnieniem algebraicznym elementu

Powyższe wzory nazywamy rozwinięciami Laplace’a, pierwszy względem -tej kolumny, a drugi względem -tego wiersza[1].

Przykład

Przy obliczaniu wyznacznika korzystamy z twierdzenia Laplace’a tak długo, aż uzyskamy macierze, których wyznaczniki można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia). Dobrze jest przy tym skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem wyzerować jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny.

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:

Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Stosując rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza (pamiętać należy o znakach wyliczanych minorów) dostaniemy:

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo – odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:

Ponownie korzystamy z rozwinięcia Laplace’a, tym razem względem drugiej kolumny:

Z kolei zredukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego:

i po raz ostatni korzystamy z twierdzenia, tym razem rozwijając względem drugiego wiersza:

Zobacz też

Przypisy

  1. Agnieszka Kowalik, Metoda Laplace’a obliczania wyznaczników, Open AGH e-podręczniki, 19 września 2016 [dostęp 2018-07-06] (pol.).

Media użyte na tej stronie