Słaba topologia

Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).

Słaba topologia to najmniejsza topologia na przestrzeni liniowo-topologicznej, zwykle lokalnie wypukłej, w której wszystkie funkcjonały liniowe są ciągłe (w sensie mocnej topologii) – innymi słowy dla przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle X}$ o nietrywialnej przestrzeni sprzężonej (topologicznie) ${\displaystyle X^{*}}$ jest to topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

${\displaystyle \{x^{*}:x^{*}\in X^{*}\};}$

jeśli ${\displaystyle \tau }$ jest (mocną) topologią w ${\displaystyle X,}$ to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem ${\displaystyle \tau ^{*}.}$ Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie bazy otoczeń zera.

Przykład: rozpatrzmy nieskończony ciąg ${\displaystyle (e_{n})}$ elementów przestrzeni ${\displaystyle \ell _{2}}$, w którym kolejne elementy ${\displaystyle e_{n}}$ mają na ${\displaystyle n}$-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Ciąg ten jest słabo zbieżny do ${\displaystyle 0\in \ell _{2}.}$ Natomiast względem normy dany ciąg jest rozbieżny (mimo bycia ograniczonym). Dlatego zbiór ${\displaystyle \{e_{n}:n=1,2,\dots \}}$ jest domknięty w silnej topologii, ale nie w słabej topologii. Z kolei zbiór ${\displaystyle \{O\}\cup \{e_{n}:n=1,2,\dots \}}$ jest domknięty w obu topologiach, ale zwarty tylko w słabej topologii.

Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Słaba topologia zwiększa rodzinę zbiorów zwartych i zmniejsza rodzinę zbiorów domkniętych (mówi się wtedy o słabej zwartości czy słabej domkniętości). Para topologii mocnej i słabej wspólnie stanowi ważne narzędzie analizy funkcjonalnej.

Własności

Niech ${\displaystyle X}$ będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową oraz niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ będzie niepustą rodziną funkcjonałów liniowych przestrzeni ${\displaystyle X}$ taką, że dla każdego niezerowego ${\displaystyle x\in X}$ istnieje ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ taki, że ${\displaystyle f(x)\neq 0.}$ Wówczas

• ${\displaystyle (X,+,\cdot ,\tau ({\mathcal {F}}))}$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą,
• rodzina ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest zawarta w przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle (X,\tau ({\mathcal {F}}))^{\star },}$ ponadto jeśli ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sama jest przestrzenią liniową, to ${\displaystyle {\mathcal {F}}=(X,\tau ({\mathcal {F}}))^{\star }.}$
• podzbiór ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle (X,\tau ({\mathcal {F}}))}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ istnieje ${\displaystyle M\in [0,\infty ),}$ że dla każdego ${\displaystyle x\in A{:}}$ ${\displaystyle |f(x)|\leqslant M,}$
• ciąg punktów ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest zbieżny do punktu ${\displaystyle x}$ tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x)}$ dla każdego ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}.}$
• Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest nieskończenie wymiarowa, to każde jej słabe otoczenie zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Ponadto, przestrzeń ta nie jest lokalnie ograniczona.
• Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest lokalnie wypukła, to domknięcie zbioru wypukłego w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru w sensie słabej topologii.
• Twierdzenie Mazura: Niech ${\displaystyle X}$ będzie metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Jeżeli punkt ${\displaystyle x\in X}$ jest słabą granicą ciągu ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ punktów tej przestrzeni, to jest (mocną) granicą pewnego ciągu punktów otoczki wypukłej zbioru ${\displaystyle \{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}.}$

Topologia *-słaba

Niech ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem ${\displaystyle K}$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ można określić funkcjonał ${\displaystyle \Phi _{x}\colon X^{\star }\to K}$ dany wzorem

${\displaystyle \Phi _{x}(x^{*})=x^{*}x.}$

Dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ funkcjonał ${\displaystyle \Phi _{x}}$ jest liniowy ponadto dla każdego ${\displaystyle x^{\star }\in X^{*}\setminus \{0\}}$ istnieje ${\displaystyle x\in X}$ taki, że

${\displaystyle \Phi _{x}(x^{*})\neq 0.}$

Topologię ${\displaystyle \tau (\{\Phi _{x}:x\in X\})}$ wprowadzoną w zbiorze ${\displaystyle X^{*}}$ przez rodzinę ${\displaystyle \{\Phi _{x}:x\in X\}}$ nazywamy topologią *-słabą i oznaczamy symbolem ${\displaystyle {{\mathcal {T}}^{w}}^{*}.}$

Przestrzeń ${\displaystyle (X^{*},{{\mathcal {T}}^{w}}^{*})}$ jest lokalnie wypukła, a rodzina

${\displaystyle \{\{x^{\star }\in X^{\star }:|x^{\star }x_{1}|<{\tfrac {1}{n_{1}}},\dots ,|x^{\star }x_{m}|<{\tfrac {1}{n_{m}}}\}:x_{1},\dots ,x_{m}\in X,n_{1},\dots ,n_{m}\in \mathbb {N} ,m\in \mathbb {N} \}}$

jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

• Jeżeli ${\displaystyle X^{*}}$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde *-słabe otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią unormowaną oraz ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}}$ oznacza topologię wyznaczoną normę w przestrzeni ${\displaystyle X^{*},}$ to ${\displaystyle {{\mathcal {T}}^{w}}^{*}=({{\mathcal {T}}^{*}})^{w}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.