Sfera

Sfera

Sfera (z gr. σφαῖρα sphaîra „kula, piłka”) – uogólnienie pojęcia okręgu na więcej wymiarów. Jest to zbiór wszystkich punktów (miejsce geometryczne) w przestrzeni metrycznej oddalonych o ustaloną odległość od wybranego punktu. Ustalona odległość nazywa się promieniem sfery, wybrany punkt nazywa się środkiem sfery. Zwykle przyjmuje się dodatkowo, że promień musi być dodatni^[1]. Tak zdefiniowany zbiór jest brzegiem kuli o tym samym środku i promieniu^[2]. Zazwyczaj jako przestrzeń metryczną rozpatruje się przestrzeń euklidesową.

Sfera w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej

Najczęściej mówimy o sferze w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Taka sfera jest dwuwymiarową powierzchnią opisywaną wzorem:

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2},}$

gdzie ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ to współrzędne środka sfery, a wartość ${\displaystyle r}$ jest nazywana promieniem sfery. Często dodatkowo zakłada się, że ${\displaystyle r>0}$ (sfera z zerowym promieniem to przypadek zdegenerowany, w którym nie wszystkie typowe własności są zachowane).

W tym samym układzie współrzędnych sfera może być opisana za pomocą równania parametrycznego:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\alpha ,\beta )=x_{0}+r\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]y(\alpha ,\beta )=y_{0}+r\sin \beta \\[2pt]z(\alpha ,\beta )=z_{0}+r\sin \alpha \cos \beta \end{cases}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle \alpha \in [-\pi ,\pi ),}$
• ${\displaystyle \beta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Parametry ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ są odpowiednio długością i szerokością geograficzną w odpowiednim układzie współrzędnych sferycznych związanym ze środkiem sfery

W układzie współrzędnych sferycznych, równanie sfery o promieniu ${\displaystyle r}$ i środku znajdującym się w środku układu współrzędnych, przyjmuje postać ${\displaystyle r(\alpha ,\beta )=r=const}$ dla dowolnych kątów ${\displaystyle \alpha \in [-\pi ,\pi ),\beta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Związane pojęcia

Cięciwa sfery to odcinek o końcach na sferze.

Średnica sfery to:

• cięciwa przechodząca przez środek sfery
• długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia sfery.

Pole powierzchni sfery wyraża się wzorem:

${\displaystyle S=4\pi r^{2}.}$

Okrąg wielki sfery to okrąg o promieniu tej sfery, o środku w jej środku.

Krzywizna Gaussa sfery w każdym jej punkcie wynosi:

${\displaystyle K={\frac {1}{r^{2}}}.}$

Sfera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

Pojęcie sfery może być zdefiniowane w przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru. Wówczas w przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej sfera może być opisana następującym wzorem:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}(x_{j}-s_{j})^{2}=r^{2},}$

gdzie ${\displaystyle x_{j}}$ to ${\displaystyle j}$-ta współrzędna punktu na sferze, ${\displaystyle s_{j}}$ to ${\displaystyle j}$-ta współrzędna jej środka, ${\displaystyle r}$ to promień sfery. W tym ujęciu okrąg jest szczególnym przypadkiem sfery w przestrzeni dwuwymiarowej, a zbiór dwóch punktów jest sferą w przestrzeni jednowymiarowej.

Sfera w przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej jest czasem nazywana sferą m-wymiarową i oznaczana ${\displaystyle S^{m},}$ gdzie ${\displaystyle m=n-1,}$ ponieważ taka sfera jest powierzchnią ${\displaystyle m}$-wymiarową. Dla przykładu, zwykłą sferę rozpatruje się w przestrzeni trójwymiarowej, ale ona jest zwykłą powierzchnią, czyli obiektem dwuwymiarowym; dlatego to sfera dwuwymiarowa, ${\displaystyle S^{2}.}$ Jeżeli ${\displaystyle m>2}$ (tzn. ${\displaystyle n>3}$), to taka uogólniona sfera jest nazywana też hipersferą.

Uogólnienia

Sfera jest też pojęciem topologii, w której oznacza przestrzeń topologiczną homeomorficzną z ${\displaystyle n}$-wymiarową hipersferą. Sfera rozpatrywana w topologii ma więc te same topologiczne własności jak hipersfera, tzn. jest to ${\displaystyle n}$-wymiarowa rozmaitość bez brzegu, zwarta i jest homotopijnie równoważna z ${\displaystyle n}$-hipersferą.

Uogólniona hipoteza Poincarégo (włącznie z potwierdzonym już przypadkiem 3-wymiarowym) stwierdza, że jest też odwrotnie – każda ${\displaystyle n}$-wymiarowa rozmaitość bez brzegu, zwarta i mająca typ homotopijny ${\displaystyle n}$-hipersfery jest homeomorficzna z ${\displaystyle n}$-hipersferą.

Zobacz też

• pas sferyczny
• pseudosfera
• rogata sfera Alexandera

Przypisy

Bibliografia

• Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Bezmiar Matematycznej Wyobraźni. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2005. ISBN 83-7337-932-0.