Sieć (geometria)

Siecią ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,L^{1},L^{2},L^{3})}$ nazywa się układ czterech zbiorów: ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle L^{1},}$ ${\displaystyle L^{2},}$ ${\displaystyle L^{3},}$ w których:

• elementy zbioru ${\displaystyle P}$ nazywa się punktami,
• elementy zbiorów ${\displaystyle L^{1},}$ ${\displaystyle L^{2},}$ ${\displaystyle L^{3}}$ nazywa się krzywymi (a same zbiory rodzinami krzywych),
• między punktami i krzywymi określona jest relacja incydencji wyrażana zwrotami: punkt leży na krzywej, krzywa przechodzi przez punkt,
• przez każdy punkt zbioru ${\displaystyle P}$ przechodzi dokładnie jedna krzywa każdej rodziny krzywych,
• dwie proste należące do różnych rodzin krzywych przecinają się w dokładnie jednym punkcie zbioru ${\displaystyle P}$^[1][2].

Sieci na płaszczyźnie

Jeśli punkty są punktami płaszczyzny, a krzywe są krzywymi na płaszczyźnie, to rodziny krzywych ${\displaystyle L^{1}}$ i ${\displaystyle L^{2}}$ mogą być przekształcone przy pomocy homeomorfizmu płaszczyzny na rodziny sieci prostych równoległych do osi układu współrzędnych, czyli z dokładnością do deformacji homeomorficznej tworzą sieć współrzędnych na płaszczyźnie. Wtedy krzywe trzeciej rodziny ${\displaystyle L^{3}}$ są poziomicami pewnej funkcji ${\displaystyle z=f(x,y)}$^[3].

Przykłady

Punktami sieci regularnej są punkty płaszczyzny. Każda z prostych: ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$ (proste zielone) generuje rodzinę prostych do niej równoległych, jedną z rodzin sieci. Związaną z tą siecią quasi-grupą jest zbiór punktów prostej różowej z odpowiednio zdefiniowanym mnożeniem.

• Najprostszą siecią jest sieć regularna, w której zbiór ${\displaystyle P}$ jest zbiorem punktów płaszczyzny, a rodziny prostych są zbiorami prostych równoległych do każdej z osi współrzędnych na płaszczyźnie oraz pewnej prostej pochyłej do obu osi^[3].
• Sieci związane są z quasi-grupami – jednym z rodzajów algebr uniwersalnych. Każdej quasi-grupie odpowiada pewna sieć i na odwrót, każdej sieci odpowiada pewna quasi-grupa, nazywana quasi-grupą współrzędnych sieci. Mnożenie punktów ${\displaystyle D}$ i ${\displaystyle E}$ w quasi-grupie składającej się z punktów prostej różowej (na rysunku) jest zdefiniowane następująco (patrz rysunek):
  • przez punkty ${\displaystyle D}$ i ${\displaystyle E}$ prowadzi się proste równoległe odpowiednio do prostych ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$ które przecinają się w punkcie ${\displaystyle G.}$
  • przez punkt ${\displaystyle G}$ prowadzi się prostą równoległą do prostej ${\displaystyle c,}$ która przecina prostą różową w punkcie ${\displaystyle F.}$ Punkt ${\displaystyle F}$ jest iloczynem punktów ${\displaystyle D}$ i ${\displaystyle E.}$
• Każdej quasi-grupie można przyporządkować pewną sieć ${\displaystyle S.}$ Niech ${\displaystyle G}$ będzie quasi-grupą. Wtedy:
  • punktami sieci są pary uporządkowane ${\displaystyle (a,b)}$ elementów zbioru ${\displaystyle G,}$
  • rodzinami prostych są zbiory symboli ${\displaystyle L^{i}=\{l_{a}^{i}:a\in G\}}$ dla i = 1, 2, 3,
  • punkt ${\displaystyle (a,b)}$ należy do symboli ${\displaystyle l_{a}^{1},l_{b}^{2},l_{ab}^{3};}$ zatem przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta każdej rodziny,
  • proste ${\displaystyle l_{a}^{1},l_{b}^{2}}$ przecinają się w punkcie ${\displaystyle (a,b);}$ proste ${\displaystyle l_{a}^{1},l_{c}^{3}}$ przecinają się w punkcie ${\displaystyle (a,c\backslash a);}$ proste ${\displaystyle l_{b}^{2},l_{c}^{3}}$ przecinają się w punkcie ${\displaystyle (c/b,b)}$^[4].

Wtedy quasi-grupa ${\displaystyle G}$ jest quasi-grupą współrzędnych sieci ${\displaystyle S.}$

Przypisy