Sieć (geometria)

Siecią nazywa się układ czterech zbiorów: w których:

  • elementy zbioru nazywa się punktami,
  • elementy zbiorów nazywa się krzywymi (a same zbiory rodzinami krzywych),
  • między punktami i krzywymi określona jest relacja incydencji wyrażana zwrotami: punkt leży na krzywej, krzywa przechodzi przez punkt,
  • przez każdy punkt zbioru przechodzi dokładnie jedna krzywa każdej rodziny krzywych,
  • dwie proste należące do różnych rodzin krzywych przecinają się w dokładnie jednym punkcie zbioru [1][2].

Sieci na płaszczyźnie

Jeśli punkty są punktami płaszczyzny, a krzywe są krzywymi na płaszczyźnie, to rodziny krzywych i mogą być przekształcone przy pomocy homeomorfizmu płaszczyzny na rodziny sieci prostych równoległych do osi układu współrzędnych, czyli z dokładnością do deformacji homeomorficznej tworzą sieć współrzędnych na płaszczyźnie. Wtedy krzywe trzeciej rodziny są poziomicami pewnej funkcji [3].

Przykłady

Punktami sieci regularnej są punkty płaszczyzny. Każda z prostych: i (proste zielone) generuje rodzinę prostych do niej równoległych, jedną z rodzin sieci. Związaną z tą siecią quasi-grupą jest zbiór punktów prostej różowej z odpowiednio zdefiniowanym mnożeniem.
  • Najprostszą siecią jest sieć regularna, w której zbiór jest zbiorem punktów płaszczyzny, a rodziny prostych są zbiorami prostych równoległych do każdej z osi współrzędnych na płaszczyźnie oraz pewnej prostej pochyłej do obu osi[3].
  • Sieci związane są z quasi-grupami – jednym z rodzajów algebr uniwersalnych. Każdej quasi-grupie odpowiada pewna sieć i na odwrót, każdej sieci odpowiada pewna quasi-grupa, nazywana quasi-grupą współrzędnych sieci. Mnożenie punktów i w quasi-grupie składającej się z punktów prostej różowej (na rysunku) jest zdefiniowane następująco (patrz rysunek):
    • przez punkty i prowadzi się proste równoległe odpowiednio do prostych i które przecinają się w punkcie
    • przez punkt prowadzi się prostą równoległą do prostej która przecina prostą różową w punkcie Punkt jest iloczynem punktów i
  • Każdej quasi-grupie można przyporządkować pewną sieć Niech będzie quasi-grupą. Wtedy:
    • punktami sieci są pary uporządkowane elementów zbioru
    • rodzinami prostych są zbiory symboli dla i = 1, 2, 3,
    • punkt należy do symboli zatem przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta każdej rodziny,
    • proste przecinają się w punkcie proste przecinają się w punkcie proste przecinają się w punkcie [4].
Wtedy quasi-grupa jest quasi-grupą współrzędnych sieci

Przypisy

  1. Walentyn Daniłowicz Biełousow: Podstawy teorii quasi-grup i pętli. Moskwa: Nauka, 1967, s. 193. (ros.)
  2. Aleksander Kurosz: Algebra ogólna. Wykłady z lat 1969–1970. Moskwa: 1974, s. 39–40. (ros.)
  3. a b Biełousow, op. cit., s. 193.
  4. Kurosz, op. cit., s. 40.

Media użyte na tej stronie

Multiplication in quasi-group.svg
Autor: Januszkaja, Licencja: CC BY-SA 3.0
Mnożenie w quasi-grupie. Prosta różowa jest zbiorem elementów quasi-grupy. Proste zielone definiują sieć geometryczną. Punkt przecięcia prostej czerwonej i różowej jest iloczynem punktów granatowych leżących na prostej różowej.