Silnia

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż ${\displaystyle n}$^[1]. Zapis ${\displaystyle n!,}$ ${\displaystyle 2!}$ itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Zastosowania

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać ${\displaystyle k!}$) przez geometrię ${\displaystyle n}$-wymiarową (np. stosunek miary ${\displaystyle n}$-wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ${\displaystyle n!}$), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego jest równa ${\displaystyle n!}$).

Definicja formalna

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

${\displaystyle !\colon \mathbb {N} _{0}\to \mathbb {N} _{+}}$

Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}$

Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{dla }}n\geqslant 1.}$

Wartość 0! określa się osobno^[2]:

${\displaystyle 0!=1.}$

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}}$

Przykłady

${\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24}$

${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$

${\displaystyle 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}$

Historia

Oznaczenie ${\displaystyle n!}$ dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Obliczanie

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Dla liczb całkowitych wystąpi to już dla 13!

n = 1 	n! = 1
n = 2 	n! = 2
n = 3 	n! = 6
n = 4 	n! = 24
n = 5 	n! = 120
n = 6 	n! = 720
n = 7 	n! = 5040
n = 8 	n! = 40320
n = 9 	n! = 362880
n = 10 	n! = 3628800
n = 11 	n! = 39916800
n = 12 	n! = 479001600
n = 13 	int overflow

Przybliżona wartość

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n).}$

Przydatne jest również oszacowanie:

${\displaystyle n!=o(n^{n}).}$

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\alpha _{n}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}.}$

Właściwości

Wzrost

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Wzrost funkcja silnia jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż podwójnej funkcja wykładniczej(ang.)^[3]. Tempo wzrostu jest podobne do ${\displaystyle n^{n},}$ ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba ${\displaystyle n!}$ rozkłada się na czynniki pierwsze:

${\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}},}$

to

${\displaystyle {\mbox{ord}}_{p_{i}}(n!)=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,}$

tzn. liczba pierwsza ${\displaystyle p_{i}}$ pojawia się z wykładnikiem:

${\displaystyle \alpha _{i}=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,}$

gdzie ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ oznacza część całkowitą liczby ${\displaystyle x.}$

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym ${\displaystyle n!,}$ przy czym ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5^{1}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,}$

gdzie ${\displaystyle k}$ musi spełniać warunek

${\displaystyle 5^{k}\leqslant n<5^{k+1}.}$

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6}$ zerami.

Jeżeli ${\displaystyle n<5,}$ nierówności są spełnione przez ${\displaystyle k=0;}$ w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Powiązane funkcje i sekwencje

Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga

Factorion

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585^[4].

Funkcja gamma

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).}$

Ponieważ ${\displaystyle \Gamma (1)=1,}$ więc z powyższego wynika

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

dla wszystkich liczb naturalnych ${\displaystyle n.}$

Funkcja ${\displaystyle \Gamma }$ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną ${\displaystyle n!!!}$ oraz ogólnie silnie ${\displaystyle k}$-tą, którą oznaczamy jako ${\displaystyle n!^{(k)}.}$ Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

${\displaystyle n!^{(k)}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\[2pt]n&{\mbox{ gdy }}0<n\leqslant k\\[2pt]n\cdot (n-k)!^{(k)}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}}$

Silnia podwójna

Silnią podwójną liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do ${\displaystyle n.}$ Silnię podwójną oznacza się ${\displaystyle n!!.}$

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

${\displaystyle n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\[2pt]n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}}$

Przykład:

${\displaystyle 8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384}$

${\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945}$

Własności podwójnej silni:

${\displaystyle n!=n!!(n-1)!!}$

${\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!}$

${\displaystyle (2n+1)!!={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}}$

zależność od funkcji gamma:

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},}$ więc:

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\right)=(2n-1)!!}$

Przypisy

Bibliografia

• Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022  (ang.).
• http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)