Skończenie generowana grupa przemienna

Skończenie generowana grupa przemienna – grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Definicja

Niech ${\displaystyle (G,+)}$ będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}\in G,}$ że każdy ${\displaystyle x\in G}$ może być zapisany jako

${\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots n_{s}x_{s},}$

gdzie ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$ są całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}$ jest zbiorem generującym (generatorów) ${\displaystyle G}$ lub że ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ generują ${\displaystyle G.}$

Przykłady

• Liczby całkowite ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ są skończenie generowaną grupą abelową,
• liczby całkowite modulo n ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
• dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

• Grupa ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ będą liczbami wymiernymi, a ${\displaystyle w}$ liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s},}$ wtedy przedstawienie elementu ${\displaystyle {\tfrac {1}{w}}}$ za pomocą ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ okazuje się niemożliwe.

Klasyfikacja

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (Frobenius i Stickelberger, 1878), będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych (twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych)^[1], może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.). Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w informatyce: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być wykonywane równolegle (tzn. niezależnie od siebie).

Rozkład na czynniki pierwsze

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa ${\displaystyle G}$ jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}},}$

gdzie ${\displaystyle n\geqslant 0,}$ a liczby ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{t}}$ są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności ${\displaystyle G}$ jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n=0.}$ Wartości ${\displaystyle n,q_{1},\dots ,q_{t}}$ są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez ${\displaystyle G.}$

Rozkład na czynniki niezmiennicze

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna ${\displaystyle G}$ może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}},}$

gdzie ${\displaystyle k_{1}}$ dzieli ${\displaystyle k_{2},}$ które dzieli ${\displaystyle k_{3}}$ i tak dalej, aż do ${\displaystyle k_{u}.}$ Znowu, liczby ${\displaystyle n,k_{1},\dots ,k_{u}}$ są jednoznacznie wyznaczone przez ${\displaystyle G}$ (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba ${\displaystyle n}$ jest równa randze grupy abelowej.

Równoważność

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ jest izomorficzna z iloczynem prostym ${\displaystyle \mathbb {Z} _{j}}$ przez ${\displaystyle \mathbb {Z} _{k}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle j}$ oraz ${\displaystyle k}$ są względnie pierwsze i ${\displaystyle m=jk.}$

Wnioski

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną ${\displaystyle G.}$ Ranga ${\displaystyle G}$ jest określona jako ranga beztorsyjnej części ${\displaystyle G;}$ tzn. jest to liczba ${\displaystyle n}$ w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre’a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$

Zobacz też

• twierdzenie Jordana-Höldera jako uogólnienie na grupy nieprzemienne

Przypisy