Spirala logarytmiczna

Spirala logarytmiczna – krzywa płaska przecinająca pod jednakowym, stałym kątem ${\displaystyle \alpha }$ wszystkie półproste wychodzące z ustalonego punktu, zwanego biegunem spirali.

Opis matematyczny

Spirala logarytmiczna w układzie współrzędnych biegunowych (α = 80°)

Spirala logarytmiczna w układzie współrzędnych kartezjańskich

Wzór opisujący spiralę logarytmiczną we współrzędnych biegunowych, gdy biegun spirali pokrywa się z biegunem (początkiem) układu współrzędnych^[1]:

${\displaystyle r=ae^{b\varphi }}$

lub

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{b}}\ln \left({\frac {r}{a}}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle e}$ – podstawa logarytmu naturalnego,

${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} .}$

Jeden „koniec” spirali nawija się na biegun (dla ${\displaystyle \varphi \to -\infty }$ spirala asymptotycznie zbliża się do bieguna ${\displaystyle r\to 0}$), zaś drugi „ucieka” w nieskończoność (dla ${\displaystyle \varphi \to \infty }$ zwoje spirali rosną nieograniczenie: ${\displaystyle r\to \infty }$).

Stosunek pochodnej wartości promienia ${\displaystyle r}$ względem kąta ${\displaystyle \varphi }$ do promienia jest stały i równy współczynnikowi w wykładniku:

${\displaystyle {\frac {r'(\varphi )}{r(\varphi )}}=b,}$

wobec czego kąt ${\displaystyle \alpha }$ pomiędzy spiralą i promieniami (półprostymi) wychodzącymi z bieguna spirali spełnia równość:

${\displaystyle b=\operatorname {ctg} \,\alpha .}$

Kąt ten jest więc stały:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} \,{\frac {1}{b}},}$

zaś współczynnik ${\displaystyle b}$ decyduje o tym jak „szybko” oraz w którą stronę spirala się skręca.
Dla ${\displaystyle b=0}$ kąt ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\pi }{2}}}$ – krzywa przecina promienie prostopadle, zatem spirala degeneruje się do okręgu (o równaniu ${\displaystyle r=a}$). Przy ${\displaystyle b}$ dążącym do nieskończoności spirala „rozprostowuje się”, w granicy dążąc do półprostej ${\displaystyle \varphi =0.}$
Zmiana znaku współczynnika ${\displaystyle b}$ równoważna jest zmianie znaku zmiennej ${\displaystyle \varphi ,}$ odpowiada zatem symetrii osiowej względem prostej ${\displaystyle \varphi =0,}$ odwzorowując spiralę prawoskrętną w lewoskrętną i odwrotnie.

Współczynnik ${\displaystyle a}$ jest skalą spirali (w funkcji ${\displaystyle \varphi \mapsto r}$ występuje jako mnożnik), odpowiada zatem za wielkość krzywej. Zmiana jego wartości odpowiada obracaniu spirali wokół bieguna – ponieważ

${\displaystyle a\cdot e^{b(\varphi +\gamma )}=a\,e^{b\gamma }\cdot e^{b\varphi },}$

to ${\displaystyle e^{b\gamma }}$-krotne zwiększenie współczynnika ${\displaystyle a}$ odpowiada obróceniu spirali o kąt ${\displaystyle \gamma .}$

Równania parametryczne spirali logarytmicznej są więc następujące:

${\displaystyle x(\varphi )=r\cos(\varphi )=ae^{b\varphi }\cos(\varphi ),}$

${\displaystyle y(\varphi )=r\sin(\varphi )=ae^{b\varphi }\sin(\varphi ),}$

gdzie ${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} .}$

Właściwości

• Odległość od środka kolejnych pętel spirali rośnie w postępie geometrycznym.
• Wyruszając z dowolnego punktu ${\displaystyle P}$ spirali i idąc po niej można okrążyć biegun dowolną liczbę razy nie dochodząc do niego. Jednak droga, którą przemierzyć trzeba od tego punktu do bieguna, jest skończona. Tę własność pierwszy zauważył Evangelista Torricelli. Droga ta wynosi:

${\displaystyle {\frac {r}{\cos \varphi }},}$

gdzie ${\displaystyle r}$ to odległość (po linii prostej) punktu ${\displaystyle P}$ od bieguna.

Spirale logarytmiczne w przyrodzie

W wielu zjawiskach i obiektach w przyrodzie można spotkać się z tworami w kształcie spirali logarytmicznej. Przykłady tego są następujące:

• Droga, jaką owad leci do źródła światła. Owady zwykły zachowywać stały kąt pomiędzy torem lotu a źródłem światła. Zazwyczaj Księżyc lub Słońce jest jedynym źródłem światła i lecąc według tej reguły, owady poruszają się po linii prostej.
• Ramiona galaktyki spiralnej. Uważa się, że Droga Mleczna ma 4 główne ramiona, z których każde jest spiralą logarytmiczną o kącie 12°. Ramiona galaktyk spiralnych mają kąty od 10° do 40°.
• Ramiona tropikalnych cyklonów jak huragany.
• Wiele biologicznych struktur jak muszle mięczaków. W tym przypadku spiralny kształt jest wynikiem algorytmu: Weź dowolną figurę płaską F₀, pomniejsz ją k razy otrzymując F₁ i doklej F₁ do F₀. Następnie pomniejsz F₁ k razy otrzymując F₂ i doklej F₂ do F₁ etc. Powtarzanie tego procesu prowadzi do powstania spiralnego kształtu.

Zobacz też

• lista krzywych
• spirala Archimedesa
• spirala hiperboliczna
• złota spirala
• loksodroma

Przypisy

Linki zewnętrzne

• SpiralZoom.com (ang.) – Angielska strona poświęcona spiralom.