Sprzężenie zespolone

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

${\displaystyle {\overline {3+2i}}=3-2i}$

${\displaystyle {\overline {i}}=-i}$

${\displaystyle {\overline {5}}=5}$

${\displaystyle {\overline {-2-3i}}=-2+3i.}$

Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej ${\displaystyle z=a+bi,}$ gdzie ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ jest liczba ${\displaystyle a-bi}$ nazywana liczbą sprzężoną do ${\displaystyle z}$^[1] i oznaczana zwykle symbolem ${\displaystyle {\overline {z}}}$. W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis ${\displaystyle z^{\star }.}$

W postaci biegunowej sprzężenie liczby ${\displaystyle re^{i\phi }}$ dane jest przez ${\displaystyle re^{-i\phi }.}$ Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Nazwę sprzężenia zespolonego prawdopodobnie wprowadził Augustin Louis Cauchy – używał jej (fr. conjuguées) w swoim Kursie analizy z 1821 roku^[2].

Uwagi

Geometryczna reprezentacja ${\displaystyle z}$ i jego sprzężenia ${\displaystyle {\overline {z}}}$ na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś ${\displaystyle x}$-ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś ${\displaystyle y}$-ów zawiera wielokrotności liczby ${\displaystyle i.}$ Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi ${\displaystyle x.}$

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona ${\displaystyle i}$ jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej ${\displaystyle -i,}$ jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: ${\displaystyle x^{2}=-1}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli ${\displaystyle {\overline {({\overline {z}})}}=z.}$ Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności

Niech ${\displaystyle z,w}$ będą liczbami zespolonymi, a ${\displaystyle r}$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

• liczbą sprzężoną do liczby rzeczywistej ${\displaystyle a}$ jest ta sama liczba:

  ${\displaystyle {\overline {r}}=r;}$

• liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:

  ${\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}};}$

• liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:

  ${\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}};}$

• moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:

  ${\displaystyle |{\overline {z}}|=|z|;}$

• jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:

  ${\displaystyle \arg({\overline {z}})=-\arg(z);}$

• suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:

  ${\displaystyle z+{\overline {z}}=2\operatorname {Re} \;z;}$

• iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:

  ${\displaystyle z{\overline {z}}=|z|^{2},}$ stąd też ${\displaystyle |z|={\sqrt {z{\overline {z}}}};}$

• jeżeli ${\displaystyle z=ri,}$ czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:

  ${\displaystyle {\overline {z}}=-z\Leftrightarrow z=ri,\quad -z=-ri={\overline {z}};}$

• jeśli ${\displaystyle z}$ jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to ${\displaystyle {\overline {z}}}$ też nim jest.

Macierz sprzężona

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

${\displaystyle \mathbf {A} =[a_{ij}]\mapsto {\overline {\mathbf {A} }}=[{\overline {a_{ij}}}]}$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {\mathbf {A} }}={\begin{bmatrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{bmatrix}}}$

Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$ jest kwaternion ${\displaystyle a-bi-cj-dk.}$ Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ można określić je wzorem ${\displaystyle f(a+b{\sqrt {2}})=a-b{\sqrt {2}},}$ a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też

• argument liczby zespolonej
• liczby zespolone
• moduł liczby zespolonej

Przypisy