Stała Eulera

Stała Eulera, stała Eulera-Mascheroniego (γ) – stała matematyczna wynosząca około 0,5772156649.

Historia notacji

Stałą po raz pierwszy zapisał szwajcarski matematyk Leonhard Euler w dziele zatytułowanym De Progressionibus harmonicis Observationes. Oznaczał ją za pomocą C i O. W 1790 r. włoski matematyk Lorenzo Mascheroni używał liter A i a. Znak γ nie pojawia się w pismach Eulera ani Mascheroniego i został użyty później ze względu na związek stałej Eulera z funkcją gamma. Na przykład niemiecki matematyk Carl Anton Bretschneider używał symbolu γ w 1835 roku[1].

Definicja

Stała Eulera pojawia się w analizie matematycznej jako granica ciągu

gdzie oznacza odpowiednią liczbę harmoniczną.

Inaczej można ją zdefiniować za pomocą funkcji ζ Riemanna:

lub za pomocą następującej całki:

Występuje też jako wartość wielu innych całek oznaczonych.

Własności

Średnia wartość części ułamkowych z dzielenia liczby naturalnej N przez kolejne liczby mniejsze od N (albo kolejne liczby pierwsze mniejsze od N) dąży do wartości 1-γ przy wzroście N[2].

Stała Eulera bardzo często pojawia się w teorii liczb np. przy asymptotycznych oszacowaniach niektórych funkcji arytmetycznych (twierdzenie Dirichleta o sumie dzielników liczb naturalnych, czy też twierdzenie Mertensa). Pojawia się też często przy rozważaniu szeregu harmonicznego. W tych rozważaniach często występuje:

W 2021 roku nie jest wiadome, czy ta stała jest liczbą wymierną, czy też niewymierną[3], ale wykazano, że jeśli liczba γ jest liczbą wymierną, to jej mianownik musi mieć ponad 10242080 cyfr[4].

Wartość przybliżona stałej Eulera γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 923 598 805…[5]

Do obliczania wartości liczby γ można użyć wzoru:

Związki

Stała Eulera występuje m.in. w:

Zobacz też

Przypisy

  1. Krämer 2005.
  2. Ibrahim M. Alabdulmohsin, Fractional parts and their relations to the values of the Riemann zeta function, „Arabian Journal of Mathematics”, 7 (1), 2018, s. 1–8, DOI10.1007/s40065-017-0184-2, ISSN 2193-5343 [dostęp 2019-05-30] (ang.).
  3. Eulera stała, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-29].
  4. Havil, Julian: Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-09983-9.
  5. OEIS: Decimal expansion of Euler’s constant (or Euler-Mascheroni constant) gamma (ang.). [dostęp 2016-03-15].