Stałe Bruna

W roku 1919 Viggo Brun pokazał, że suma odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżna do wartości stałej, która obecnie nazywana jest stałą Bruna dla liczb bliźniaczych. Oznacza się ją na ogół jako B₂:

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\dots }$

Zbieżność tej sumy jest tym ciekawsza, że suma odwrotności wszystkich liczb pierwszych jest rozbieżna. Rozbieżność tej sumy byłaby dowodem istnienia nieskończonej liczby par liczb bliźniaczych, a więc stanowiłaby rozwiązanie problemu liczb bliźniaczych.

Przez obliczenie sumy liczb bliźniaczych mniejszych od 10¹⁴ przy użyciu komputera, Thomas R. Nicely oszacował wielkość B₂ jako równą 1,902160578 (przy okazji odkrywając błąd instrukcji FDIV procesorów Pentium). Najlepsze dotychczas oszacowanie wartości stałej Bruna podał w 2002 Pascal Sebah, używając w tym celu wszystkich liczb bliźniaczych aż do wielkości 10¹⁶:

B₂ ≈ 1,902160583104

Istnieje także stała Bruna dla liczb czworaczych (czyli układu dwóch par liczb bliźniaczych, odległych o 4). Pierwsze liczby czworacze to (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Stała Bruna dla liczb czworaczych, oznaczana jako B₄ jest sumą odwrotności wszystkich czwórek liczb pierwszych postaci:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

i jej wartość wynosi

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Symbolu B₄ używa się także na określenie stałej Bruna dla liczb pokrewnych (liczb pierwszych odległych o 4), co może prowadzić do nieporozumień.

Zobacz też

• liczby czworacze
• lista stałych matematycznych