Statystyka (funkcja)

Statystyka – funkcja mierzalna określona na przestrzeni statystycznej, służąca do wyodrębnienia pewnych istotnych cech danych doświadczalnych. Jest szczególnym przypadkiem miary rozkładu. Pojęcie statystyki w statystyce matematycznej jest odpowiednikiem zmiennej losowej w rachunku prawdopodobieństwa^[1].

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej.

Definicja

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {P}})}$ będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{\theta }\colon \theta \in \Theta \}}$

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ podzbiorów zbioru ${\displaystyle \Omega ,}$ indeksowaną parametrem ${\displaystyle \theta .}$ Niech dalej ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {C}})}$ będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną ${\displaystyle T\colon \Omega \to {\mathcal {X}}}$ nazywamy statystyką. Zbiór ${\displaystyle \Omega }$ jest nazywany przestrzenią prób.

Własności

• Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} }$ to statystykę ${\displaystyle T}$ nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
• Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{n}}$ to statystykę ${\displaystyle T}$ nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Przykłady

• mediana
• odchylenie standardowe
• średnie
• wariancja

Statystyka swobodna

Statystyka ${\displaystyle T\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy ${\displaystyle E_{P_{\theta }}(T)}$ istnieje i nie zależy od ${\displaystyle \theta .}$ Wspólną dla ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ wartość oczekiwaną oznaczamy ${\displaystyle E(T)}$ i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki ${\displaystyle T.}$

Statystyka dostateczna

Definicja i własności

σ-ciało dostateczne

σ-podciało ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest dostateczne, gdy dla każdego ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego ${\displaystyle P(F|{\mathcal {G}})}$ taka sama dla wszystkich miar z rodziny ${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$

Statystyka dostateczna

Statystykę ${\displaystyle T}$ nazywamy dostateczną, jeżeli σ-podciało ${\displaystyle T^{-1}({\mathcal {C}})}$ jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka ${\displaystyle T\colon (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}_{R^{n}},{\mathcal {P}})\to (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}_{R^{n}})}$ będzie statystyką o wartościach wektorowych. ${\displaystyle T}$ jest statystyką dostateczną dla rodziny ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ lub dla ${\displaystyle \theta ,}$ jeżeli dla każdej wartości ${\displaystyle t}$ rozkład warunkowy ${\displaystyle P_{\theta }\{\cdot |T=t\}}$ nie zależy od ${\displaystyle \theta .}$

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\{p_{\theta }:\theta \in \Theta \})}$ będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka ${\displaystyle T\colon \Omega \to {\mathcal {X}}}$ jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości ${\displaystyle p_{\theta }}$ dają się przedstawić w postaci:

${\displaystyle \bigwedge \limits _{\omega \in \Omega }p_{\theta }(\omega )=g_{\theta }(T(\omega ))h(\omega ),}$

gdzie:

${\displaystyle h\colon \Omega \to [0;\infty )}$ jest funkcją ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-mierzalną,

funkcje ${\displaystyle g_{\theta }\colon {\mathcal {X}}\to [0;\infty )}$ są ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna

Statystykę dostateczną ${\displaystyle S}$ nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej ${\displaystyle T}$ istnieje funkcja ${\displaystyle H}$ taka, że ${\displaystyle S=H(T).}$

Zobacz też

• miara rozkładu
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Przypisy

Bibliografia

• Jean René Barra, Elżbieta Pleszczyńska, Maria Wesołowska: Matematyczne podstawy statystyki. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-02847-5.
• Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004. http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)