Stożek (bryła)

Stożek – przypadek najogólniejszy

Rodzaje stożków

Stożek prosty

schemat stożka prostego

Stożek (łac. conus) – bryła ograniczona przez powierzchnię stożkową, której krzywa kierująca jest zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą tę powierzchnię stożkową^[1]. Część płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Może mieć ona kształt dowolnej figury płaskiej. Kierującą powierzchni stożkowej może być obwód podstawy. Wysokością stożka nazywamy odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy.

Objętość stożka wynosi

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh,}$

gdzie:

${\displaystyle S}$ – pole powierzchni podstawy stożka,

${\displaystyle h}$ – wysokość stożka.

Stożek obrotowy

Stożek obrotowy prosty to bryła wypukła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna ta tworzy wysokość ${\displaystyle (h)}$ stożka, druga przyprostokątna staje się promieniem podstawy ${\displaystyle (r)}$ zaś przeciwprostokątna – tworzącą stożka ${\displaystyle (l).}$

Stożek w kartezjańskim układzie współrzędnych opisany jest układem nierówności:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}\leqslant \left({\frac {zr}{h}}\right)^{2}\\&0\leqslant z\leqslant h\end{aligned}}\right.,}$

gdzie: ${\displaystyle r>0,\ h>0.}$

Długość tworzącej stożka

Tworząca stożka to odcinek łączący dowolny punkt na brzegu podstawy stożka z jego wierzchołkiem (dla stożka prostego i pochyłego) lub najbliższym punktem na brzegu drugiej podstawy (dla stożka ściętego).

Tworzącą stożka oznacza się najczęściej małą literą ${\displaystyle l.}$ Jej długość dana jest wzorem:

• ${\displaystyle l={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ – dla stożka prostego. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt utworzony przez promień podstawy ${\displaystyle r,}$ wysokość stożka ${\displaystyle h}$ i tworzącą ${\displaystyle l}$ jest prostokątny).

Pole powierzchni bocznej stożka

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}=\pi rl.}$^[2]

Wzór ten można uzyskać w następujący sposób: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek kołowy o promieniu ${\displaystyle R=l}$ takim jak tworząca stożka i długości łuku równej obwodowi podstawy stożka ${\displaystyle L=2\pi r.}$

Wycinek kołowy o promieniu ${\displaystyle R}$ i długości łuku ${\displaystyle L}$ ma pole powierzchni^[a]:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\frac {1}{2}}LR,}$

stąd

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}={\frac {1}{2}}LR={\frac {1}{2}}2\pi rl=\pi rl.}$

Pole powierzchni całkowitej stożka

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{c}={\mathcal {P}}_{b}+{\mathcal {P}}_{p},}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{c}=\pi rl+\pi r^{2},}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{c}=\pi r(r+l).}$^[2]

Objętość stożka

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\mathcal {P}}_{p}h.}$^[2]

Wzór ten obowiązuje także dla dowolnych ostrosłupów, ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{p}}$ jest wtedy polem wielokątnej podstawy. Koło jest granicznym przypadkiem ciągu wielokątów foremnych dla liczby boków dążącej do nieskończoności.

Kąt rozwarcia stożka

Tym terminem oznacza się kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stożka

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {r}{h}}.}$

Objętość kuli opisanej na stożku

${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{6}}\pi {\frac {l^{6}}{(l^{2}-r^{2}){\sqrt {l^{2}-r^{2}}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle l}$ – tworząca,

${\displaystyle r}$ – promień podstawy stożka.

Zobacz też

• kula
• krzywe stożkowe
• ostrosłup
• powierzchnia stożkowa
• stożek ścięty
• walec
• wielościan

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, s. 226, ​ISBN 83-01-11658-7​.