Stopień rozszerzenia ciała

W matematyce, konkretniej teorii ciał, stopień jest w intuicyjnym sensie miarą „rozmiaru” rozszerzenia ciała. Pojęcie to odgrywa ważną rolę w wielu częściach matematyki, w tym algebry i teorii liczb – w wielu dziedzinach, gdzie ciała są kluczowymi obiektami algebraicznymi.

Definicje i oznaczenia

Niech że ${\displaystyle E/F}$ będzie rozszerzeniem ciała. Wtedy ${\displaystyle E}$ można traktować jako przestrzeń liniową nad ${\displaystyle F}$ (które odgrywa rolę skalarów). Wymiar tej przestrzeni wektorowej nazywa się stopniem rozszerzenia ciała i jest oznaczany ${\displaystyle [E:F].}$

Stopień może być skończony lub nieskończony, ciało jest nazywane odpowiednio skończonym rozszerzeniem lub nieskończonym rozszerzeniem. Rozszerzenie ${\displaystyle E/F}$ czasem nazywane jest po prostu skończonym, jeśli jest skończonym rozszerzeniem; nie należy tego mylić z ciałami skończonymi (ciałami o skończonej liczbie elementów).

Twierdzenie o stopniach rozszerzeń ciał

Dla trzech ciał dla których zachodzi ciąg inkluzji ${\displaystyle K\hookrightarrow L\hookrightarrow M,}$ istnieje prosta zależność między stopniami trzech rozszerzeń ${\displaystyle L/K,}$ ${\displaystyle M/Q}$ i ${\displaystyle M/Z{:}}$

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

Innymi słowy stopień „dużego” rozszerzenia można obliczyć jako iloczyn pośrednich rozszerzeń. To twierdzenie przypomina twierdzenie Lagrange’a w teorii grup, które łączy rząd grupy i indeks podgrupy; Teoria Galois pokazuje, że ta analogia jest czymś więcej niż tylko zbiegiem okoliczności.

Jeśli ${\displaystyle M/K}$ jest skończone, to twierdzenie nakłada silne ograniczenia na rodzaj ciał, które mogą wystąpić między ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle K,}$ za pomocą prostych arytmetycznych zależności. Na przykład jeśli stopień ${\displaystyle [M:K]}$ jest liczbą pierwszą ${\displaystyle p,}$ to dla dowolnego ciała pośredniego ${\displaystyle L,}$ zachodzi jedno z dwojga: albo ${\displaystyle [M:L]=P}$ oraz ${\displaystyle [L:K]=1,}$ w tym przypadku ${\displaystyle L}$ jest równe ${\displaystyle K}$ lub ${\displaystyle [M:L]=1}$ oraz ${\displaystyle [L:K]=p,}$ w tym przypadku ${\displaystyle L}$ jest równe ${\displaystyle M.}$ W takim razie nie istnieje żadne pośrednie rozszerzenie ${\displaystyle K}$ zawarte w ${\displaystyle M.}$

Dowód twierdzenia w przypadku skończonym

Niech, że ${\displaystyle K,L,M}$ będą ciałami spełniającymi kolejne inkluzje ${\displaystyle K\hookrightarrow L\hookrightarrow M}$ oraz że ${\displaystyle d=[L:K]}$ i ${\displaystyle e=[M:L]}$ są skończone. W takim razie istnieje baza ${\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{d}\}}$ przestrzeni ${\displaystyle L}$ nad ${\displaystyle K}$ oraz baza ${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{e}\}}$ przestrzeni ${\displaystyle M}$ nad ${\displaystyle L.}$ Pokażemy, że elementy ${\displaystyle u_{m}w_{n},}$ tworzą podstawę dla ${\displaystyle M/K;}$ a że jest ich dokładnie ed, to znaczy, że wymiar ${\displaystyle M/K}$ wynosi de.

Najpierw musimy sprawdzić, że ten zbiór rozpina ${\displaystyle M/K.}$ Niech ${\displaystyle x}$ będzie dowolnym elementem ${\displaystyle M,}$ ponieważ ${\displaystyle w_{n}}$ tworzą bazę dla ${\displaystyle M}$ nad ${\displaystyle L,}$ możemy znaleźć elementy ${\displaystyle a_{n}}$ w ${\displaystyle L}$ takie, że

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.}$

Wtedy, jako że ${\displaystyle u_{m}}$ tworzą bazę dla ${\displaystyle L}$ nad ${\displaystyle K,}$ możemy znaleźć elementy ${\displaystyle b_{m,n}}$ w ${\displaystyle K}$ takie, że dla każdego ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.}$

Następnie za pomocą rozdzielności i łączności mnożenia w ${\displaystyle M}$ mamy

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}$

co pokazuje, że ${\displaystyle x}$ jest liniową kombinacja ${\displaystyle u_{m}w_{n}}$ o współczynnikach z ${\displaystyle K;}$ innymi słowy, rozpinają one ${\displaystyle M}$ nad ${\displaystyle K.}$

Po drugie, musimy sprawdzić, że są one liniowo niezależne nad ${\displaystyle K.}$ Załóżmy że:

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})}$

dla pewnych współczynników ${\displaystyle b_{m,n}}$ w ${\displaystyle K.}$ Wtedy mamy:

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}.}$

W takim razie wyrażenia w nawiasie muszą być zerowe, ponieważ są one elementami ${\displaystyle L,}$ a ${\displaystyle w_{n}}$ są liniowo niezależne nad ${\displaystyle L.}$ Czyli

${\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}$

dla każdego ${\displaystyle n.}$ Ale, ${\displaystyle b_{m,n}}$ są współczynnikami w ${\displaystyle K}$ oraz ${\displaystyle u_{m}}$ są liniowo niezależne nad ${\displaystyle K,}$ musimy mieć, że ${\displaystyle b_{m,n}=0}$ dla wszystkich ${\displaystyle m}$ i ${\displaystyle n.}$ To pokazuje, że elementy ${\displaystyle u_{m}w_{n}}$ są liniowo niezależne nad ${\displaystyle K.}$ To kończy dowód.

Przykłady

• Liczby zespolone są rozszerzeniem ciała nad rzeczywistymi liczbami o stopniu ${\displaystyle [\mathbf {C} :\mathbf {R} ]=2,}$ w takim razie nie ma nietrywialnych ciał między nimi.
• Rozszerzenie ciała ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}),}$ otrzymane przez dołączenie ${\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}}}$ do ciała liczb wymiernych, Ma stopień 4, czyli ${\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}):\mathbb {Q} ]=4.}$ Pośrednie ciało ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ma stopień 2 nad ${\displaystyle \mathbb {Q} ;}$ z twierdzenia o stopniu rozszerzeń mamy ${\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]=2.}$
• W ciało skończone (ciało Galois) ${\displaystyle \mathbf {GF} (125)=\mathbf {GF} (5^{3})}$ ma stopień równy 3 nad ${\displaystyle \mathbf {GF} (5).}$ W bardziej ogólnym przypadku, jeśli ${\displaystyle p}$ jest pierwsze oraz ${\displaystyle m,n}$ – liczby całkowite dodatnie i ${\displaystyle n}$ dzieli ${\displaystyle m,}$ wtedy ${\displaystyle [\mathbf {GF} (p^{m}):\mathbf {GF} (p^{n})]=m/n.}$
• Rozszerzenie ciała ${\displaystyle \mathbf {C} (T)/\mathbf {C} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {C} (T)}$ to ciało funkcji wymiernych nad ${\displaystyle \mathbf {C} ,}$ ma nieskończony stopień. Zauważmy, że elementy ${\displaystyle 1,T,T^{2},}$ itp. liniowo niezależne nad ${\displaystyle \mathbf {C} .}$

Bibliografia

• Proof of the multiplicativity formula. W: Nathan Jacobson: Basic Algebra I. W. H. Freeman and Company, 1985, s. 215. ISBN 0-7167-1480-9.
• Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, 1989, s. 465. ISBN 0-7167-1933-9.