Stopień wielomianu

Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian ${\displaystyle xy=x^{1}y^{1}}$ jest stopnia drugiego.

Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.

Stopień wielomianu ${\displaystyle f}$ oznaczamy ${\displaystyle \deg f}$ (skrót od angielskiego degree).

Niekiedy zakłada się, że jeśli ${\displaystyle f\equiv 0,}$ wówczas ${\displaystyle \deg f=-\infty .}$

Stopień wielomianu ma następujące własności:

• stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:

${\displaystyle \deg(f\pm g)\leqslant \max(\deg f,\deg g);}$

• stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera:

${\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.}$

Przykłady

• ${\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+x-1}$ – wielomian stopnia 3,
• ${\displaystyle x^{5}+x^{3}-2x+11}$ – wielomian stopnia 5,
• ${\displaystyle 2x}$ – wielomian stopnia 1,
• ${\displaystyle -9}$ – wielomian stopnia 0,
• ${\displaystyle 0}$ – wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).

Rozszerzenie pojęcia

Stopień wielomianu ${\displaystyle f(x)}$ można także zdefiniować metodami analitycznymi:

${\displaystyle \deg f\colon =\lim _{x\to \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}.}$

Definicję tę można zastosować dla każdej funkcji ciągłej, która od pewnego miejsca nie zmienia znaku i dla której powyższa granica istnieje. Np.:

• ${\displaystyle \deg {\tfrac {1}{x}}=-1,}$
• ${\displaystyle \deg {\sqrt {x}}={\tfrac {1}{2}},}$
• ${\displaystyle \deg \log x=0,}$
• ${\displaystyle \deg \exp x=\infty .}$

Jeśli obliczanie granicy prowadzi do wyrażenia nieoznaczonego ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }},}$ to dla funkcji różniczkowalnej można skorzystać z reguły de l’Hospitala. Wówczas

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {(\log |f(x)|)'}{(\log(x))'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}.}$

Jeśli ${\displaystyle \deg f,\,\deg g}$ istnieją, to łatwo sprawdzić, że istnieje ${\displaystyle \deg f\cdot g}$ oraz ${\displaystyle \deg f\cdot g=\deg f+\deg g.}$ Faktycznie

${\displaystyle {\frac {x(fg)'}{fg}}={\frac {x(f'g+fg')}{fg}}={\frac {xf'g}{fg}}+{\frac {xfg'}{fg}}={\frac {xf'}{f}}+{\frac {xg'}{g}}.}$