Suma prosta przestrzeni liniowych

Suma prosta przestrzeni liniowych – mówimy, że przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ jest przedstawiona w postaci sumy prostej jej podprzestrzeni liniowych ${\displaystyle \{V_{i}\colon i\in I\}}$ (gdzie ${\displaystyle I}$ jest pewnym zbiorem indeksów), gdy każdy element ${\displaystyle v\in V}$ może być jednoznacznie przedstawiony w postaci poniższej sumy:

${\displaystyle v=\sum _{i\in I}v_{i}}$ dla ${\displaystyle v_{i}\in V_{i}.}$

Piszemy wówczas:

${\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}}$

bądź skrótowo

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i},}$

gdzie ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}.}$

Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni ${\displaystyle V_{i},}$ to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.

Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.

Twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle V_{1}}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle V}$ to zawsze istnieje taka podprzestrzeń ${\displaystyle V_{2},}$ że

${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}.}$

W algebrze liniowej, podprzestrzenie ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}}$ nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.

Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji

Niech ${\displaystyle V}$ oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech ${\displaystyle V_{n},V_{p}}$ będą zdefiniowane jako:

• ${\displaystyle V_{n}}$ – przestrzeń liniowa funkcji nieparzystych,
• ${\displaystyle V_{p}}$ – przestrzeń liniowa funkcji parzystych.

Dowolną funkcje ${\displaystyle f}$ można przedstawić jako sumę ${\displaystyle f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}},}$

gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.

Dowód (niewprost)

Załóżmy że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:

${\displaystyle f=p_{1}+n_{1}=p_{2}+n_{2}}$

lub równoważnie

${\displaystyle n_{1}-n_{2}=p_{2}-p_{1}.}$

Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że

${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$ oraz ${\displaystyle n_{1}=n_{2},}$

co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.

Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:

${\displaystyle V=V_{p}\oplus V_{n}.}$

Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych

W przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ macierzy ${\displaystyle n\times n}$ każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.

${\displaystyle A=A^{sym}+A^{antysym},}$

gdzie:

${\displaystyle A^{T}}$ – macierz transponowana macierzy ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle A^{sym}={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)}$ – macierz symetryczna,

${\displaystyle A^{antysym}={\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)}$ – macierz antysymetryczna.

Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń ${\displaystyle V^{sym}}$ przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ macierzy, gdyż:

a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,

b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.

Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń ${\displaystyle V^{antysym}}$ przestrzeni ${\displaystyle V.}$

Ponieważ każdą macierz przestrzeni ${\displaystyle V}$ da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą

${\displaystyle V=V^{sym}\oplus V^{antysym}.}$

Np. dla macierzy

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&4\\0&4&6\\0&0&8\end{bmatrix}}}$

macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&4&0\\4&6&8\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{sym}={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&4&3\\2&3&8\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle A^{antysym}={\begin{bmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{bmatrix}}.}$

Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej

Przestrzeń liniowa utworzona z tensorów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz ${\displaystyle n\times n,}$ gdzie ${\displaystyle n}$ – wymiar przestrzeni liniowej, na której określono pole tensorowe. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa

Niech ${\displaystyle V}$ oznacza przestrzeń wektorową ${\displaystyle 3}$-wymiarową (ogólnie: ${\displaystyle n}$-wymiarową). W przestrzeni tej można wprowadzić podział na sumy proste następująco:

• wybiera się bazę przestrzeni ${\displaystyle V}$ (możliwych baz jest nieskończenie wiele – najprostsze są bazy kartezjańskie, w ogólności mogą to być bazy współrzędnych krzywoliniowych, np. sferycznych, walcowych, i dowolnych innych),
• zbiór wektorów ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru ${\displaystyle 3}$-elementowego mamy możliwe podziały bazy:

  ${\displaystyle P_{1}=\{\{e_{1}\},\{e_{2},e_{3}\}\},}$

  ${\displaystyle P_{2}=\{\{e_{2}\},\{e_{3},e_{1}\}\},}$

  ${\displaystyle P_{3}=\{\{e_{3}\},\{e_{1},e_{2}\}\},}$

  ${\displaystyle P_{4}=\{\{e_{1}\},\{e_{2}\},\{e_{2}\}\}.}$

Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni ${\displaystyle V}$ na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}{:}}$

${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{23},}$

${\displaystyle V=V_{2}\oplus V_{31},}$

${\displaystyle V=V_{3}\oplus V_{12},}$

${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3}.}$

Dla przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej – przy dużej wartości ${\displaystyle n}$ – możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.

Suma prosta w analizie funkcjonalnej

W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}}$ danej przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle X}$ oznacza sumę prostą

${\displaystyle X=V_{1}\oplus V_{2}.}$

przy założeniu, że ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}}$ są domknięte (czasami dla odróżnienia, mówi się o topologicznej sumie prostej). Jeśli ${\displaystyle V_{1}}$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle X}$ (np. przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń ${\displaystyle V_{2}}$ (tutaj definicję komplementarności zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Hilberta, to twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni ${\displaystyle V_{1}}$ jej dopełnienie ortogonalne ${\displaystyle V_{1}^{\perp }}$ stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.

${\displaystyle X=V_{1}\oplus V_{1}^{\perp }.}$

Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.

Zewnętrzna suma prosta

Niech ${\displaystyle \{V_{i}\colon i\in I\}}$ będzie rodziną przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Najmniejszą podprzestrzeń liniowa iloczynu kartezjańskiego

${\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i},}$

która zawiera zbiór

${\displaystyle \bigcup \{j_{i}[V_{i}]\colon \,i\in I\},}$

tzn. jest przez ten zbiór generowana, gdzie

${\displaystyle j_{i}\colon V_{i}\to \prod _{i\in I}V_{i}}$

przyporządkowuje elementowi ${\displaystyle v_{k}\in V_{k}}$ taki element

${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}V_{i},}$

że ${\displaystyle x_{k}=v_{k}}$ oraz ${\displaystyle x_{i}=0}$ dla ${\displaystyle i\neq k}$ nazywana jest (zewnętrzną) sumą prostą rodziny ${\displaystyle \{V_{i}\colon i\in I\}.}$

W przypadku zewnętrznej sumy prostej stosuje się takie same oznaczenia jak w przypadku pojęcia zdefiniowanego na początku artykułu (które dla odróżnienia nazywa się wówczas wewnętrzną sumą prostą). Jeżeli ${\displaystyle I}$ jest zbiorem skończonym, to suma prosta przestrzeni jest tym samym co ich iloczyn kartezjański:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\prod _{i\in I}V_{i}.}$

Zewnętrzna suma prosta jest koproduktem w kategorii przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem.

Suma prosta odwzorowań

Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi ${\displaystyle V_{i}}$ i ${\displaystyle W_{i},}$ ${\displaystyle i=1,2}$

${\displaystyle \varphi _{1}\colon V_{1}\to W_{1},}$

${\displaystyle \varphi _{2}\colon V_{2}\to W_{2},}$

definiuje się ich sumę prostą

${\displaystyle \varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\colon V_{1}\oplus V_{2}\to W_{1}\oplus W_{2}}$

wzorem

${\displaystyle (\varphi _{1}\oplus \varphi _{2})(v_{1},v_{2})=(\varphi _{1}(v_{1}),\varphi _{2}(v_{2})).}$

Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli ${\displaystyle V_{i},W_{i}}$ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz

${\displaystyle \varphi _{i}\colon V_{i}\to W_{i},\,i\in I,}$

to wzór

${\displaystyle \left(\bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\right)((x_{i})_{i\in I})=(\varphi (x_{i}))_{i\in I},\,(x_{i})_{i\in I}\in \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$

definiuje przekształcenie

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}\varphi _{i}\colon \bigoplus _{i\in I}V_{i}\to \bigoplus _{i\in I}W_{i}}$

nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań ${\displaystyle (\varphi _{i})_{i\in I}.}$

Suma prosta przestrzeni Banacha

Jeżeli ${\displaystyle \{X_{i}\colon i\in I\}}$ jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}.}$

nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni ${\displaystyle X_{i},}$ a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór ${\displaystyle I}$ jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.

c₀-suma przestrzeni Banacha

Jeżeli ${\displaystyle \{(X_{n},\|\cdot \|_{n})\colon n\in \mathbb {N} \}}$ jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń

${\displaystyle X\subseteq \prod _{n\in \mathbb {N} }X_{n}}$

tych ciągów ${\displaystyle (x_{n})_{n},}$ dla których

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{n}=0}$

jest przestrzenią Banacha z normą

${\displaystyle \|(x_{n})_{n}\|=\sup\{\|x_{n}\|_{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.}$

Podprzestrzeń ${\displaystyle X}$ nazywana jest czasem ${\displaystyle c_{0}}$ sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem

${\displaystyle X=\left({\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }}X_{n}\right)_{c_{0}}.}$

Analogicznie definiuje się sumy typu ${\displaystyle c_{0}(I),}$ gdzie ${\displaystyle I}$ jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.

l^p-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta

Jeżeli ${\displaystyle \{(X_{i},\|\cdot \|_{i})\colon i\in I\}}$ jest rodziną przestrzeni Banacha oraz ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,}$ to podprzestrzeń

${\displaystyle X\subseteq \prod _{i\in I}X_{i}}$

złożona z tych elementów ${\displaystyle (x_{i})_{i}}$ dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów ${\displaystyle x_{i}}$ jest niezerowych oraz szereg

${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p},}$

jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą

${\displaystyle \|(x_{i})_{i}\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}\|x_{i}\|_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Przestrzeń ${\displaystyle X}$ nazywana jest ${\displaystyle \ell ^{p}}$-sumą rodziny ${\displaystyle \{X_{i}\colon i\in I\}}$ i oznaczana symbolem

${\displaystyle X=\left({\bigoplus _{i\in I}}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}.}$

Jeżeli ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są dowolnymi liczbami z przedziału ${\displaystyle [1,\infty ),}$ to normy w ${\displaystyle \ell ^{p}}$ – i ${\displaystyle \ell ^{q}}$-sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.

W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie ${\displaystyle X_{i}}$ są przestrzeniami Hilberta, to ich ${\displaystyle \ell ^{2}}$-suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks ${\displaystyle \ell ^{2}}$ w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów ${\displaystyle (x_{i})_{i}}$ i ${\displaystyle (y_{i})_{i}}$ w sumie prostej spełnia warunek

${\displaystyle \langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle =\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{i}.}$

Pojęcie ${\displaystyle \ell ^{p}}$-sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha^[1]. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day^[2], natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego^[3].

Suma prosta operatorów ograniczonych

Jeżeli ${\displaystyle (T_{i})_{i\in I}}$ jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, ${\displaystyle X_{i}}$ i ${\displaystyle Y_{i},}$ tj.

${\displaystyle \sup _{i\in I}\|T_{i}\|<\infty ,}$

to dla ustalonego ${\displaystyle p\geqslant 1}$ definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych ${\displaystyle \ell ^{p}}$-sumę rodziny ${\displaystyle (T_{i})_{i\in I},}$ tj. operator

${\displaystyle \left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\colon \left(\bigoplus _{i\in I}X_{i}\right)_{\ell ^{p}}\to \left(\bigoplus _{i\in I}Y_{i}\right)_{\ell ^{p}},}$

zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem ${\displaystyle \ell ^{p}}$-sumy. W szczególności, ${\displaystyle \ell ^{p}}$-suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz

${\displaystyle \left\|\left(\bigoplus _{i\in I}T_{i}\right)_{\ell ^{p}}\right\|=\sup\{\|T_{i}\|\colon i\in I\}.}$

Jeżeli ${\displaystyle X_{i},Y_{i}}$ są przestrzeniami Hilberta, to ${\displaystyle \ell ^{2}}$-sumę operatorów ${\displaystyle T_{i}}$ nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.

Zobacz też

• iloczyny grup
• iloczyn prosty

Przypisy

Bibliografia

• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
• Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 126–127. ISBN 0-8176-4367-2.
• A.P. Robertson, W.J. Robertson: Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53: Cambridge University Press, 1964, s. 89–90.