Suma rozłączna

Suma rozłączna – zmodyfikowana operacja sumy, w której zachowana została informacja o tym, z którego zbioru pochodzi każdy element.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ będzie rodziną zbiorów indeksowaną elementami zbioru ${\displaystyle I.}$ Sumą rozłączną rodziny ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i}}$ nazywany jest zbiór

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}~A_{i}=\bigcup _{i\in I}~\left\{(x,i)\colon x\in A_{i}\right\}.}$

Suma rozłączna wraz z włożeniami

${\displaystyle a_{k}\colon A_{k}\to \bigsqcup _{i\in I}A_{i},\;k\in I}$

określonymi wzorami

${\displaystyle a_{k}(x)=(x,k),\;k\in I}$

jest koproduktem w kategorii wszystkich zbiorów.

Topologia

Jeżeli ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych, to w ich sumie rozłącznej można zadać topologię spełniającą następujące warunki:

• dla każdego ${\displaystyle i,}$ zbiór ${\displaystyle a_{i}[X_{i}],}$ traktowany jako podprzestrzeń sumy rozłącznej jest homeomorficzny z ${\displaystyle X_{i}}$
• dla każdego ${\displaystyle i,}$ zbiór ${\displaystyle a_{i}[X_{i}]}$ jest otwarty.

Topologia ta nazywana jest topologią sumy rozłącznej rodziny przestrzeni topologicznych.

Zobacz też

• bordyzm
• suma prosta

Bibliografia

• A.V. Archangel’skii, V.I. Ponomarev: Fundamentals of General Topology: Problems and Exercises. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1984, s. 3, 44.