Sygnał harmoniczny

Sygnał harmoniczny (inaczej: sygnał sinusoidalny) to sygnał, którego zmienność określa funkcja sinusoidalna.

Rzeczywisty sygnał harmoniczny

Rzeczywisty sygnał harmoniczny można zapisać w postaci

${\displaystyle u(t)=A\cos(2\pi f_{0}t+\varphi _{0}),}$

gdzie:

${\displaystyle A}$ – amplituda,

${\displaystyle f_{0}}$ – częstotliwość,

${\displaystyle \varphi _{0}}$ – faza początkowa, to znaczy faza dla chwili ${\displaystyle t=0.}$

Postać ta jest równoważna innej formie wynikającej z tożsamości trygonometrycznych:

${\displaystyle u(t)=a\cos(2\pi f_{0}t)+b\sin(2\pi f_{0}t),}$

gdzie wielkości A, a, b spełniają zależności

${\displaystyle A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} (\varphi _{0})={\frac {b}{a}}}$

oraz

${\displaystyle a=A\cos(\varphi _{0}),}$

${\displaystyle b=A\sin(\varphi _{0}).}$

Sygnał harmoniczny jest okresowy, przy czym jego okres ${\displaystyle T}$ wynosi

${\displaystyle T={\frac {1}{f_{0}}}.}$

Dla sygnału harmonicznego definiuje się pojęcie pulsacji ${\displaystyle \omega _{0}}$ jako

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}.}$

Widmo

Widmo rzeczywistego sygnału harmonicznego zawiera dwa impulsy Diraca umieszczone odpowiednio w punktach ${\displaystyle \omega _{0}}$ oraz ${\displaystyle -\omega _{0}}$ w dziedzinie pulsacji.

Zespolony sygnał harmoniczny

Zespolony sygnał harmoniczny ${\displaystyle z(t)}$ to uogólnienie rzeczywistego sygnału harmonicznego ${\displaystyle u(t)}$ takie, że

${\displaystyle u(t)=\Re \{z(t)\},}$

najczęściej postaci

${\displaystyle z(t)=Ae^{j2\pi f_{0}t+\varphi _{0}}=\cos(2\pi f_{0}t+\varphi _{0})+j\sin(2\pi f_{0}t+\varphi _{0}).}$

Widmo

Widmo zespolonego sygnału harmonicznego o postaci jak wyżej zawiera pojedynczy impuls Diraca umieszczony w punkcie ${\displaystyle \omega _{0}}$ w dziedzinie pulsacji.

Dyskretny sygnał harmoniczny

Dyskretny sygnał harmoniczny to sygnał ${\displaystyle u(n)}$ określony dla dyskretnych wartości argumentu ${\displaystyle n,}$ o postaci

${\displaystyle u(n)=A\cos \left(2\pi {\frac {f_{0}}{f_{s}}}n+\varphi _{0}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle f_{s}}$ – częstotliwość próbkowania.

Dyskretny sygnał harmoniczny jest okresowy tylko wtedy, gdy jego częstotliwość ${\displaystyle f_{0}}$ jest całkowitą podwielokrotnością częstotliwości próbkowania ${\displaystyle f_{s}.}$

Widmo

Widmo dyskretnego sygnału harmonicznego zawiera nieskończony ciąg par impulsów Diraca, powtarzających się w pulsacjach ${\displaystyle k2\pi f_{s}+\omega _{0}}$ oraz ${\displaystyle k2\pi f_{s}-\omega _{0},}$ dla wszystkich całkowitych ${\displaystyle k.}$

Bibliografia

• Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G., Teoria sygnałów. Wstęp, Wydanie 2, Wydawnictwo Helion, 2006.
• MarianM. Pasko MarianM., JanuszJ. Walczak JanuszJ., Teoria sygnałów, Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2003, ISBN 83-7335-054-3, OCLC 749228854 .
• Szabatin J., Podstawy teorii sygnałów, wyd. V, WKiŁ, 2007, ISBN 978-83-206-1331-5.
• Zieliński Tomasz P., Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wydział EAIiE AGH, Kraków 2000.
• Zieliński Tomasz P., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Wyd. 2 popr., Warszawa 2007, ISBN 978-83-206-1640-8.