Sygnał okresowy

Sygnał okresowy, sygnał okresowo zmienny – pojęcie stosowane w elektronice, telekomunikacji, elektrotechnice, akustyce, automatyce, fizyce oraz innych dziedzinach nauki i techniki. Oznacza sygnał zależny od czasu, którego wartości powtarzają się w stałych odstępach, trwających przez czas zwany okresem. Sygnał taki można opisać okresową funkcją matematyczną.

Definicja

Sygnałem okresowo zmiennym nazywa się każdą wielkość fizyczną ${\displaystyle x(t)}$ zależną od czasu, jeżeli spełnia ona warunek

${\displaystyle x(t)=x(t+kT),}$

gdzie:

${\displaystyle k=1,2,...}$

${\displaystyle T}$ – ustalona wartość nazywana okresem sygnału.

Oznacza to, że wartości sygnału powtarzają się w odstępach czasu będących wielokrotnościami ${\displaystyle T.}$ Sygnał taki jest funkcją okresową czasu.

Okres i częstotliwość

Najmniejszą wartość ${\displaystyle T}$ o tej własności nazywamy okresem podstawowym lub okresem sygnału. Z okresem związana jest częstotliwość ${\displaystyle f}$ i pulsacja ${\displaystyle \omega }$ (częstość kołowa):

${\displaystyle f={\frac {1}{T}}}$

oraz

${\displaystyle \omega =2\pi \cdot f.}$

Składowe harmoniczne

Sygnał okresowo zmienny można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, który może być zapisany na przykład w następującej postaci:

${\displaystyle x(t)=X_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}\cdot \sin(n\,{\omega }t+\varphi _{n}),}$

gdzie:

${\displaystyle X_{0}}$ – składowa stała,

${\displaystyle X_{n}}$ – amplituda n-tej harmonicznej,

${\displaystyle \varphi _{n}}$ – przesunięcie fazowe n-tej harmonicznej.

Pierwsza harmoniczna nosi też nazwę składowej podstawowej. Sygnał, który zawiera tylko jedną harmoniczną, jest sygnałem sinusoidalnym o amplitudzie ${\displaystyle X_{1}}$

Wartość szczytowa

Wartość szczytowa (ang. peak value), zwana też wartością maksymalną sygnału, jest określona jako:

${\displaystyle X_{max}=\max |x(t)|.}$

Wartość maksymalna sygnału sinusoidalnego nie posiadającego składowej stałej jest równa amplitudzie tego sygnału. Stosowane też bywa podobne pojęcie wartości międzyszczytowej (ang. peak-to-peak value):

${\displaystyle X_{pp}=\max |x(t)>0|+\max |x(t)<0|.}$

Dla sygnału sinusoidalnego wartość międzyszczytowa jest równa podwojonej amplitudzie.

Wartość średnia

Wartość średnia sygnału jest określona wzorem:

${\displaystyle X_{m}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,x(t)dt.}$

Tak określona wartość średnia jest tożsama ze składową stałą ${\displaystyle X_{0}}$ szeregu Fouriera tego sygnału (patrz wyżej). Sygnał okresowy symetryczny względem osi ${\displaystyle x=0}$ ma wartość średnią równą zeru, toteż używa się także średniej z wartości bezwzględnej (w matematyce i teorii sygnałów: pierwszy moment absolutny, w elektrotechnice: wartość średnia sygnału wyprostowanego), która dla sygnałów nierównych tożsamościowo zeru ma wartość dodatnią:

${\displaystyle X_{e}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,|x(t)|dt.}$

Wartość skuteczna

Wartość skuteczna (ang. RMS value) określa parametry energetyczne sygnału. W elektrotechnice najczęściej podaje się tę właśnie wartość, jeżeli mowa jest o prądzie lub napięciu zmiennym bez dodania określeń: średnie, chwilowe, maksymalne itp. Jest ona określona wzorem:

${\displaystyle X_{sk}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,x^{2}(t)dt}}.}$

Wartość skuteczną można też wyrazić poprzez amplitudy składowych harmonicznych (współczynniki rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera – patrz wyżej):

${\displaystyle X_{sk}={\sqrt {X_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}^{2}}}.}$

Powyższy wzór jest treścią tożsamości Parsevala w teorii szeregów Fouriera.

Współczynniki bezwymiarowe

Współczynnik kształtu

Współczynnik kształtu (ang. waveform factor) jest stosunkiem wartości skutecznej do średniej z wartości bezwzględnej:

${\displaystyle k_{k}={\frac {X_{sk}}{X_{e}}}.}$

Współczynnik szczytu

Współczynnik szczytu (ang. crest factor) podaje stosunek wartości maksymalnej (szczytowej) do wartości skutecznej sygnału:

${\displaystyle k_{sz}={\frac {X_{max}}{X_{sk}}}}$

Współczynnik zawartości harmonicznych

Współczynnik zawartości harmonicznych, mierzy w pewien sposób odchyłkę sygnału od przebiegu sinusoidalnego. Stosowane są dwie różne definicje tego współczynnika:

${\displaystyle h_{1}={\frac {\sqrt {\sum \limits _{n=2}^{\infty }X_{n}^{2}}}{X_{1}}}}$

lub

${\displaystyle h_{2}={\frac {\sqrt {\sum \limits _{n=2}^{\infty }X_{n}^{2}}}{\sqrt {\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}^{2}}}}}$

(ta ostatnia wielkość bywa też nazywana współczynnikiem zniekształceń).

Wartości parametrów dla wybranych sygnałów okresowych

Poniższa tabela podaje wartości wymienionych wyżej parametrów dla wybranych przebiegów okresowych. Przyjęto, że przebiegi pokazane w tabeli mają jednostkową wartość szczytową (amplitudę).

Rodzaj sygnału	Postać sygnału	Wartość średnia bezwzględna	Wartość skuteczna	Współczynnik kształtu	Współczynnik szczytu	Współczynnik zawartości harmonicznych
						${\displaystyle h_{1}}$	${\displaystyle h_{2}}$
Sygnał stały (DC)	––––––––––––	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	nieokreślony	nieokreślony
Sinusoidalny		${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}637}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1{,}11}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}414}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
Sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo		${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}637}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1{,}11}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}414}$	${\displaystyle \approx 0{,}225}$	${\displaystyle \approx 0{,}219}$
Sinusoidalny wyprostowany jednopołówkowo		${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\approx 0{,}318}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}=0{,}5}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}571}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \approx 0{,}441}$	${\displaystyle \approx 0{,}404}$
Trójkątny symetryczny		${\displaystyle {\frac {1}{2}}=0{,}5}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0{,}577}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1{,}155}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1{,}732}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {\pi ^{4}}{96}}-1}}\approx 0{,}121}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {96}{\pi ^{4}}}}}\approx 0{,}120}$
Prostokątny symetryczny (współczynnik wypełnienia 50%)		${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{8}}-1}}\approx 0{,}483}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}}}\approx 0{,}435}$
Piłokształtny		${\displaystyle {\frac {1}{2}}=0{,}5}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0{,}577}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1{,}155}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1{,}732}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1}}\approx 0{,}803}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {6}{\pi ^{2}}}}}\approx 0{,}626}$

Bibliografia

• Stanisław Bolkowski: Teoria obwodów elektrycznych. Warszawa: WNT, 2008. ISBN 83-204-3344-9.
• Jerzy Szabatin: Podstawy teorii sygnałów. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008. ISBN 978-83-206-1331-5.