Symbol Legendre’a

Symbol Legendre’a – funkcja ściśle multiplikatywna stosowana w teorii liczb, oznaczana lub [1][2][3].

Wprowadzony w 1798 przez Legendre'a[4]. Jego uogólnieniem jest symbol Jacobiego.

Definicja

Niech będzie liczbą pierwszą. Liczbę niebędącą wielokrotnością nazwiemy resztą kwadratową modulo , jeśli istnieje liczba całkowita taka, że fakt ten oznaczymy Jeśli taka liczba nie istnieje, liczbę nazywamy nieresztą kwadratową modulo [1], w artykule oznaczamy to jako Wielokrotności liczby nie zaliczamy ani do reszt ani do niereszt[2].

Czasami za dziedzinę funkcji nie przyjmuje się wielokrotności [1][2][3].

Własności

  • Jeśli to [2].
  • Kryterium Eulera jest użyteczne do obliczania wartości symbolu oraz jest używane do dowodzenia innych własności:

[1][2][3].

  • Symbol Legendre'a jest funkcją ściśle multiplikatywną licznika: Ta własność jest wnioskiem z kryterium Eulera[1][2][3].
  • Najważniejszą własnością jest prawo wzajemności reszt kwadratowych, zwane czasami theorema fundamentale (twierdzenie podstawowe) lub theorema aurerum (twierdzenie złote)[1][2][5]:

  • Tę własność, będącą wnioskiem z kryterium Eulera, nazywa się I uzupełnieniem prawa wzajemności[1][2]:

  • Istnieje również II uzupełnienie prawa wzajemności[1]:

Tabela wartości

Tabela przedstawia wartości funkcji dla i [6].

a
p
123456789101112131415161718192021222324252627282930
3−1−10−1−101−1−01−101−10−1−101−101−10−1−101−10
51−1−1101−1−1101−1−1101−1−1101−1−1101−1−110
711−11−1−1011−11−1−1011−11−1−1011−11−1−1011
111−1111−1−1−11−101−1111−1−1−11−101−1111−1−1−1
131−111−1−1−1−111−1101−111−1−1−1−111−1101−111
1711−11−1−1−111−1−1−11−111011−11−1−1−111−1−1−11
191−1−11111−11−11−1−1−1−111−101−1−11111−11−11
231111−11−111−1−111−1−11−11−1−1−1−101111−11−1
291−1−11111−11−1−1−11−1−11−1−1−11−11111−1−1101
3111−111−11111−1−1−11−11−1111−1−1−1−11−1−11−1−1
371−111−1−11−11111−1−1−11−1−1−1−11−1−1−11111−11
4111−111−1−1111−1−1−1−1−11−11−111−11−11−1−1−1−1−1
431−1−11−11−1−1111−111111−1−1−11−1111−1−1−1−1−1
471111−11111−1−11−11−1111−1−11−1−111−111−1−1
531−1−11−111−1111−11−1111−1−1−1−1−1−111−1−111−1
591−1111−11−11−1−11−1−1111−11111−1−111111−1
611−1111−1−1−11−1−111111−1−111−11−1−11−11−1−1−1
671−1−11−11−1−111−1−1−11111−11−1111111−1−11−1
71111111−1111−11−1−111−1111−1−1−111−11−111
731111−11−111−1−11−1−1−11−111−1−1−1111−11−1−1−1
7911−111−1−11111−11−1−11−1111111−111−1−1−1−1
831−111−1−11−11111−1−1−111−1−1−11−11−1111111
8911−111−1−11111−1−1−1−1111−1111−1−11−1−1−1−1−1
971111−11−111−111−1−1−11−11−1−1−11−111−11−1−1−1
1011−1−1111−1−11−1−1−111−111−11111111−1−1−1−11
10311−11−1−1111−1−1−11111111−1−1−11−111−1111
1071−111−1−1−1−1111111−11−1−11−1−1−11−11−11−111
1091−1111−11−11−1−11−1−111−1−1−1111−1−111111−1
11311−11−1−1111−11−11111−11−1−1−11−1−111−11−11
12711−11−1−1−111−11−11−111111−111−1−111−1−1−11

Przypisy

  1. ↑ a b c d e f g h Adam Neugebauer, Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 2, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 204-211, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-08-14].
  2. ↑ a b c d e f g h Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 61, 63-65, 139, 169, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-08-14].
  3. ↑ a b c d Eric W. Weisstein, Legendre Symbol, mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-08-14] (ang.).
  4. ↑ A.M. (Adrien Marie) Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, Duprat, 1798 [dostęp 2022-08-14].
  5. ↑ Eric W. Weisstein, Quadratic Reciprocity Theorem, mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-08-14] (ang.).
  6. ↑ Legendre Symbol(LS) Calculator, www.mymathtables.com [dostęp 2022-08-14].

Linki zewnętrzne