Symbol Leviego-Civity

Ten artykuł należy dopracować: od 2010-12 → zweryfikować treść i dodać przypisy, → poprawić styl – powinien być encyklopedyczny, nie linkować do nie wiadomo jakiego wzoru w „iloczynie mieszanym”. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Wartości symbolu Leviego-Civity w prawoskrętnym układzie współrzędnych.

Wizualizacja symbolu Leviego-Civity jako trzech macierzy 3×3.

Wizualizacja symbolu Leviego-Civity dla lewoskrętnego układu współrzędnych (pusty sześcian odpowiada liczbie 0, niebieski liczbie -1 i czerwony liczbie 1).

Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:

Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullio Levi-Civita. Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.

Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego w konwencji Einsteina:

W notacji tensorowej w tej samej konwencji co poprzednio mamy natomiast:

gdzie ${\displaystyle {\hat {e}}^{i}}$ jest ${\displaystyle i}$-tym wektorem bazy kontrawariantej.

Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim symbol Leviego-Civity jest wielkością stałą, którego wartość jest zależna od trzech indeksów według przedstawienia (1).

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera

Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie (podwójny iloczyn wektorowy-8) i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu:

Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci:

Wektory (5) możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy:

Ponieważ wektory (4) są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru (2) możemy napisać:

Jeśli wykorzystamy związek (7), i że wektory (4) są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z (6) możemy napisać następująco:

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach

Aby pokazać zastosowania symbolu Leviego-Civity udowodnijmy dla przykładu dwa poniższe twierdzenia:

Dowód twierdzenia (9) opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (f{\vec {a}})&=\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(fa_{k})\\&=\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}a_{k}+f\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}a_{k}\\&=(\nabla f)\times {\vec {a}}+f(\nabla \times {\vec {a}}).\end{aligned}}}$

Dowód twierdzenia (10) też opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu, a także rozwinięcia iloczynu skalarnego poprzez wzór (3).

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ({\vec {a}}\times {\vec {b}})&={\vec {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(\epsilon _{jkl}{\vec {e}}_{j}a_{k}b_{l})\\&={\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}\epsilon _{jkl}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(a_{k}b_{l})\\&=\delta _{ij}\epsilon _{jkl}({\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}}}b_{l}+a_{k}{\frac {\partial b_{l}}{\partial x_{i}}})\\&=\epsilon _{ikl}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}}}b_{l}+\epsilon _{ikl}a_{k}{\frac {\partial b_{l}}{\partial x_{i}}}\\&=b_{l}\delta _{jl}\epsilon _{ikj}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}}}+a_{k}\delta _{jk}\epsilon _{ijl}{\frac {\partial b_{l}}{\partial x_{i}}}\\&=b_{l}{\vec {e}}_{l}{\vec {e}}_{j}\epsilon _{ikj}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{i}}}+a_{k}{\vec {e}}_{k}{\vec {e}}_{j}\epsilon _{ijl}{\frac {\partial b_{l}}{\partial x_{i}}}\\&=b_{l}{\vec {e}}_{l}\epsilon _{jik}{\vec {e}}_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}a_{k}-a_{k}{\vec {e}}_{k}\epsilon _{jil}{\vec {e}}_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}b_{l}\\&={\vec {b}}(\nabla \times {\vec {a}})-{\vec {a}}(\nabla \times {\vec {b}}).\end{aligned}}}$

Przykłady

• ${\displaystyle \epsilon _{112}=0,}$ z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć ${\displaystyle i=1}$ oraz ${\displaystyle j=2}$ w powyższej definicji),
• ${\displaystyle \epsilon _{123}=1,}$ gdyż ${\displaystyle (1,2,3)}$ jest parzystą permutacją ${\displaystyle (1,2,3),}$
• ${\displaystyle \epsilon _{312}=1,}$ gdyż ${\displaystyle (3,1,2),}$ jest parzystą permutacją ${\displaystyle (1,2,3),}$
• ${\displaystyle \epsilon _{213}=-1,}$ gdyż ${\displaystyle (2,1,3),}$ jest nieparzystą permutacją ${\displaystyle (1,2,3).}$

Zobacz też

• konwencja sumacyjna Einsteina
• permutacja
• tensor