Symediana

Trójkąt z zaznaczonymi środkowymi (czarne linie), dwusiecznymi (przerywane) i symedianami (czerwone).

Symediana – prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie (zwanym punktem Lemoine’a), jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.

Właściwości

Jeżeli czworokąt ${\displaystyle ABCD}$ jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe):

• półprosta ${\displaystyle DB}$ jest symedianą w trójkącie ${\displaystyle \Delta ACD,}$
• ${\displaystyle |AB|\cdot |CD|=|BC|\cdot |AD|,}$
• styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle C}$ (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle D}$ (niebieska) są współpękowe.

Twierdzenie o symedianie

Jeżeli w ${\displaystyle \Delta ABC}$ przez ${\displaystyle X}$ oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu ${\displaystyle C}$ z bokiem ${\displaystyle AB,}$ to zachodzi równość:

${\displaystyle {\frac {AX}{BX}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}$

Dowód

Niech ${\displaystyle C'}$ będzie środkiem boku ${\displaystyle AB.}$ Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:

${\displaystyle {\frac {|BC|}{\sin \angle BC'C}}={\frac {|BC'|}{\sin \angle BCC'}},}$

${\displaystyle {\frac {|AC|}{\sin \angle AC'C}}={\frac {|AC'|}{\sin \angle ACC'}},}$

zatem

${\displaystyle {\frac {|BC|}{|AC|}}={\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle BCC'}}.}$

Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to

${\displaystyle \angle BCC'=\angle ACX}$ oraz ${\displaystyle \angle ACC'=\angle BCX,}$

więc ${\displaystyle {\frac {|BC|}{|AC|}}={\frac {\sin \angle BCX}{\sin \angle ACX}}.}$

Z twierdzenia sinusów mamy też, że

${\displaystyle {\frac {|AC|}{\sin \angle AXC}}={\frac {|AX|}{\sin \angle ACX}},}$

${\displaystyle {\frac {|BC|}{\sin \angle BXC}}={\frac {|BX|}{\sin \angle BCX}},}$

więc

${\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}\cdot {\frac {\sin \angle BXC}{\sin \angle AXC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}}.}$

${\displaystyle \angle BXC+\angle AXC=180^{\circ },}$ więc ${\displaystyle \sin \angle BXC=\sin \angle AXC,}$ stąd

${\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}\cdot {\frac {\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}},}$

${\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|^{2}}{|BC|^{2}}}.}$