Symetria środkowa

Obraz figury F w symetrii środkowej S o środku w punkcie O: F₁ = S_O(F)

Symetria środkowa o środku P (symetria względem punktu P) – odwzorowanie geometryczne S_P prostej, płaszczyzny lub przestrzeni takie, że S_P(Q) = R wtedy i tylko wtedy, gdy punkt P, nazywany środkiem symetrii środkowej, jest środkiem odcinka QR. Punkty Q i R nazywa się punktami symetrycznymi względem środka symetrii P.
W prostokątnym układzie współrzędnych symetrię środkową można opisać wzorem analitycznym^[1]:
${\displaystyle {\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}}$

Środek symetrii figury geometrycznej

Figurę geometryczną F, która jest swoim obrazem w symetrii środkowej S_P (S_P(F) = F) nazywa się figurą geometryczną środkowo symetryczną (lub mówi się, że figura F ma środek symetrii). Punkt P jest środkiem symetrii figury F^[2]. Figura geometryczna ograniczona ma co najwyżej jeden środek symetrii.

Własności

• Jedynym punktem stałym symetrii środkowej jest jej środek.
• Na płaszczyźnie symetrie środkowe pokrywają się z obrotami dookoła punktu o kąt półpełny.
• Symetrie środkowe pokrywają się także z jednokładnościami o skali równej -1^[3].
• Symetria środkowa na płaszczyźnie jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się w środku symetrii pod kątem prostym
• W przestrzeni, symetria środkowa jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych, których płaszczyzny przechodzą przez środek symetrii i są wzajemnie prostopadłe
• Każda symetria środkowa na płaszczyźnie jest izometrią parzystą, zaś w przestrzeni izometrią nieparzystą
• Symetria środkowa jest inwolucją tzn. jest identyczna z odwzorowaniem odwrotnym do niej
• Złożenie dwóch symetrii środkowych jest translacją.
• Złożenie trzech symetrii środkowych jest symetrią środkową.
• Niezmienniki symetrii środkowej: kierunek wektora, długość wektora, orientacja płaszczyzny

Zobacz też

• symetria osiowa
• symetria

Przypisy