Szereg funkcyjny

Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

• szeregi Fouriera są narzędziem w badaniu możliwości przedstawienia skomplikowanej funkcji (zwykle funkcji okresowej – w fizyce i technice – ruchu drgającego) przy pomocy szeregu prostszych funkcji okresowych typu sinus i cosinus – tzw. harmonik (zob. analiza harmoniczna);
• szeregi Taylora służą do przedstawiania funkcji stosunkowo skomplikowanych przy pomocy szeregów o wyrazach będących wielomianami (czyli o dużo prostszej naturze) zależnych od kolejnych pochodnych (zob. wzór Taylora, analiza numeryczna);
• szeregi Laurenta są narzędziem podobnym do szeregów Taylora, służącym do rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szeregi potęgowe o wykładnikach całkowitych. Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji (zob. analiza zespolona).

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }$

Jest on zbieżny dla każdego ${\displaystyle -1<x<1}$ do (sumy):

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}.}$

Jeżeli przyjąć ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$ dla ${\displaystyle x}$ jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),}$

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

Zbieżność

Niech ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzeń unormowaną oraz ${\displaystyle (f_{n})}$ będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze ${\displaystyle X}$ i o wartościach w przestrzeni ${\displaystyle Y.}$

Zbieżność punktowa

Mówi się, że szereg ${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$ jest zbieżny punktowo w zbiorze ${\displaystyle X,}$ gdy dla każdego ${\displaystyle x_{0}\in X}$ zbieżny jest szereg ${\displaystyle \sum f_{n}(x_{0}).}$ Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg ${\displaystyle (s_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$ sum częściowych ${\displaystyle s_{N}=f_{1}(x_{0})+\dots +f_{N}(x_{0}).}$ Określoną w ten sposób funkcję ${\displaystyle f(x)=\sum f_{n}(x)}$ nazywa się sumą szeregu funkcyjnego ${\displaystyle \sum f_{n}(x).}$

Zbieżność jednostajna

Szereg ${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$ jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ${\displaystyle (s_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$ sum częściowych ${\displaystyle s_{N}=f_{1}+\dots +f_{N}}$ jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

Dokładniej, szereg ${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$ jest zbieżny jednostajnie w zbiorze ${\displaystyle X}$ do funkcji ${\displaystyle f(x),}$ gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu ${\displaystyle \sum {\big (}f_{n}(x)-f(x){\big )}}$ jest dowolnie mała dla wszystkich ${\displaystyle x\in X,}$ tzn. gdy dla dowolnej liczby ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taka liczba naturalna ${\displaystyle n_{\varepsilon },}$ że dla wszystkich ${\displaystyle k>n_{\varepsilon }}$ i dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle \left\|\left(\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right)-f(x)\right\|<\varepsilon .}$

Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się

• kryterium Abela,
• kryterium Dirichleta,
• kryterium Weierstrassa.

Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie – twierdzenie Weierstrassa

Niech dany będzie szereg funkcyjny ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ zbieżny jednostajnie w przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ do funkcji ${\displaystyle f.}$ Wówczas:

• jeżeli wszystkie wyrazy ciągu ${\displaystyle (f_{n})}$ są ciągłe, to jego suma ${\displaystyle f}$ też jest funkcją ciągłą;
• jeżeli ${\displaystyle (f_{n})}$ jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}'(x)}$ jest zbieżny jednostajnie, to funkcja ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna oraz

${\displaystyle f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}'(x)}$

dla ${\displaystyle x\in (a,b).}$

• jeżeli ponadto wyrazy ciągu ${\displaystyle (f_{n})}$ są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ oraz szereg ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$ jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x=\int _{a}^{b}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\,{\mbox{d}}x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,{\mbox{d}}x.}$

Przykład

Szereg

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }$

jest zbieżny punktowo do funkcji ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{1-x}}}$ w przedziale ${\displaystyle (-1,1),}$ jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 375–377.