Szereg harmoniczny

Szereg harmonicznyszereg liczbowy postaci[1]:

[2]

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

nazywają się liczbami harmonicznymi.

Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących[2]:

Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Rozbieżność szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności

Dowód Mikołaja z Oresme

Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.

Ponieważ

i ogólnie

więc

Oznacza to, że ciąg sum częściowych jest rozbieżny do [3].

Dowód Pietra Mengolego

W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli[4].

Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:

Ponieważ

i ogólnie

więc

co w efekcie daje

Oznacza to, że ciąg sum częściowych nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.

Dowód Bradleya

Bradley podał w roku 2000[5] następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

Dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność

a stąd

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

Ponieważ

zachodzi

Ciąg liczb harmonicznych

Ciąg liczb harmonicznych jest rozbieżny do ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:

gdzie = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby jest dane wzorem

Niektóre uogólnienia

Uogólniony szereg harmoniczny postaci

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach

Euler udowodnił rozbieżność szeregu

gdzie jest -tą liczbą pierwszą.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:

[2]

Szereg ten jest zbieżny dla [6] i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta Riemanna:

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Ponadto, szereg naprzemienny

jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Natomiast szereg:

gdzie to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe co jest szeregiem zbieżnym.

Przypisy

  1. szereg harmoniczny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-07-19].
  2. a b c Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 277, ISBN 83-02-02551-8.
  3. Fichtenholz 1966 ↓, s. 226.
  4. Krzysztof Maślanka, Pietro Mengoli i szeregi liczbowe, „Kwartalnik Historii Nauki i Techniki”, 49 (1), 2004, s. 47–64 [dostęp 2019-02-08] (pol.).
  5. D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651.
  6. Fichtenholz 1966 ↓, s. 227.

Bibliografia