Szereg naprzemienny

Szereg naprzemienny^[1][2] (także szereg przemienny^[3][4], szereg alternujący bądź szereg znakozmienny^[5]) – szereg liczbowy, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Szereg naprzemienny można przedstawić w postaci:

${\displaystyle \pm \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},}$

gdzie ${\displaystyle a_{n}>0}$ dla każdego ${\displaystyle n.}$

Z definicji wynika, że iloczyn dowolnych dwóch sąsiednich wyrazów szeregu jest ujemny.

Kryterium Leibniza orzeka, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest nierosnący i zbieżny do 0 jest zbieżny.

Przykłady

• Szereg Grandiego 1 − 1 + 1 − 1...
• Szereg 1 − 2 + 4 − 8 +... kolejnych potęg liczby 2 z naprzemiennie zmieniającymi się znakami.

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.

Literatura dodatkowa

• W. Krysicki, K. Włodarski: „Analiza matematyczna w zadaniach”
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998. ISBN 83-01-02846-7.
• Konrad Knopp: „Infinite Sequences and Series”

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Alternating Series, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• szereg przemienny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2009-07-17] .
• http://www.answers.com/topic/alternating-series