Szerokość połówkowa

Szerokość połówkowa

Szerokość połówkowa (ang. full width at half maximum, FWHM, szerokość w połowie wysokości) – wielkość liczbowa używana do opisu szerokości „wybrzuszeń” krzywej lub funkcji. Równa się ona odległości między dwoma punktami na krzywej w których funkcja przyjmuje połowę swojej maksymalnej wartości.

Pojęcie to jest używane w zastosowaniach matematyki (w telekomunikacji, teorii informacji, teorii sygnałów, astronomii i innych).

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle f}$ będzie funkcją określoną na pewnym przedziale ${\displaystyle D}$ (skończonym lub nie) przyjmującą wartości rzeczywiste. Ponadto, załóżmy że ${\displaystyle f}$ osiąga wartość największą ${\displaystyle m}$ (w pewnym punkcie dziedziny) oraz przyjmuje wartość ${\displaystyle {\frac {m}{2}}}$ w dokładnie dwóch punktach ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in D.}$ Wtedy

${\displaystyle \operatorname {FWHM} =\operatorname {FWHM} (f)=|x_{1}-x_{2}|.}$

Powyższa definicja ma sens dla dużej klasy funkcji, ale rozważa się ją głównie dla funkcji ciągłych, wklęsłych i o wartościach dodatnich (czyli właśnie „wybrzuszeń”). Często własności te uzyskuje się dopiero po obcięciu funkcji do pewnego przedziału skończonego.

Przykłady

• Niech funkcja ${\displaystyle f}$ będzie gęstością rozkładu normalnego. Wówczas

${\displaystyle \operatorname {FWHM} =\operatorname {FWHM} (f)=2{\sqrt {2\ln {2}}}\sigma \approx 2{,}35\sigma ,}$

gdzie ${\displaystyle \sigma }$ to odchylenie standardowe.

• Niech ${\displaystyle g}$ będzie funkcją sinus obciętą do odcinka ${\displaystyle [0,\pi ].}$ Wtedy

${\displaystyle \operatorname {FWHM} =\operatorname {FWHM} (g)={\frac {2}{3}}\pi .}$

• Niech ${\displaystyle h}$ będzie funkcją ${\displaystyle h(x)=1-{\frac {|x|}{a}},}$ gdzie ${\displaystyle a}$ jest stałą dodatnią. Wtedy

${\displaystyle \operatorname {FWHM} =\operatorname {FWHM} (h)=a.}$