Tłumienie

Wykładniczy zanik drgań słabo tłumionych rozchodzących się w strunie

Tłumienie (gaśnięcie) drgań – zmniejszanie się amplitudy drgań swobodnych wraz z upływem czasu, związane ze stratami energii układu drgającego. Tłumienie obserwowane jest zarówno w układach mechanicznych jak elektrycznych. W przypadku fal biegnących tłumienie prowadzi do zmniejszania się amplitudy fali wraz ze wzrostem odległości od źródła, co wynika z rozpraszania energii. Za pomocą pojęcia tłumieniu drgań można też opisać przejście atomu lub cząsteczki ze stanu wzbudzonego do niższego stanu energetycznego, połączone z wypromieniowaniem kwantu energii promieniowania elektromagnetycznego.

Równanie ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego

Równanie ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego ma postać:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+b{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=0.}$

Równanie to jest zmodyfikowanym równaniem drgań swobodnego oscylatora harmonicznego – dodatkowy człon

${\displaystyle F=-bv=-b{\frac {dx}{dt}},}$

reprezentuje siłę tłumiącą ${\displaystyle F,}$ o której zakłada się, że jest przeciwnie skierowana do prędkości ${\displaystyle v}$ drgającego ciała i do niej proporcjonalna; ${\displaystyle b}$ – współczynnik proporcjonalności – im większy, tym większe jest tłumienie drgań.

Rozwiązanie równania ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego

Równanie oscylatora tłumionego jest równaniem różniczkowym zwyczajnym II rzędu. Równanie to należy do dynamicznych równań ruchu.

Przyjmując oznaczenia:

${\displaystyle \beta ={\frac {b}{2m}}}$ – współczynnik tłumienia,

${\displaystyle \omega _{o}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ – częstość kołowa oscylatora nietłumionego,

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{o}^{2}-\beta ^{2}}}}$ – częstość drgań tłumionych,

równanie ruchu oscylatora tłumionego przyjmie postać:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx(t)}{dt}}+\omega _{o}^{2}x=0.}$

Przyjmując rozwiązania postaci:

${\displaystyle x=Ae^{\gamma t},}$

gdzie ${\displaystyle A}$ – amplituda drgań, ${\displaystyle \gamma }$ – liczba zespolona, otrzymuje się z równania oscylatora równanie kwadratowe:

${\displaystyle \gamma ^{2}+2\beta \gamma +\omega _{o}^{2}=0.}$

Równanie powyższe ma dwa pierwiastki ${\displaystyle \gamma _{+}}$ i ${\displaystyle \gamma _{-}}$(por. rozwiązania równania kwadratowego):

${\displaystyle \gamma _{+}=-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}},}$

${\displaystyle \gamma _{-}=-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}}.}$

Równanie ruchu oscylatora można teraz przedstawić jako sumę dwóch rozwiązań, zawierających pierwiastki ${\displaystyle \gamma _{+}}$ i ${\displaystyle \gamma _{-}}$^[1]

${\displaystyle x(t)=Ae^{\gamma _{+}t}+Be^{\gamma _{-}t},}$

gdzie ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ – stałe określone przez warunki początkowe układu, takie że:

${\displaystyle A=x(0)+{\frac {\gamma _{+}x(0)-v(0)}{\gamma _{-}-\gamma _{+}}},}$

${\displaystyle B=-{\frac {\gamma _{+}x(0)-v(0)}{\gamma _{-}-\gamma _{+}}},}$

gdzie:

${\displaystyle x(0)}$ – wychylenie początkowe,

${\displaystyle v(0)}$ – prędkość początkowa.

Składniki funkcji ${\displaystyle x(t)}$ są funkcjami wykładniczymi, są one oscylacyjne, gdy ich wykładniki zawierają części urojone, które zachodzi, gdy ${\displaystyle \beta ^{2}-\omega _{o}^{2}}$ jest mniejsze od zera. Podział ten odpowiada opisanym niżej sytuacjom fizycznym.

Współczynnik tłumienia

Do opisu zachowania się tłumionego układu drgań wprowadza się współczynnik tłumienia, oznaczany przez ${\displaystyle \zeta }$ (zeta), określony jako:

(c) Nmnogueira at en.wikipedia, CC BY-SA 2.5

Wykres ruchu dla ciała początkowo spoczywającego i wychylonego z położenia równowagi dla wybranych współczynników tłumienia

${\displaystyle \zeta ={\frac {\beta }{\omega _{0}}}={\frac {b}{2{\sqrt {mk}}}}.}$

Współczynnik tłumienia jest wielkością bezwymiarową.

Wartość tłumienia ${\displaystyle \zeta }$ określa zachowanie systemu. Tłumiony oscylator harmoniczny może być:

• Silnie tłumiony ${\displaystyle (\zeta >1)}$ – układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według (zaniku wykładniczego) do równowagi. Im większa jest wartość tłumienia ${\displaystyle \zeta }$ tym układ powraca wolniej do równowagi.
• Krytycznie tłumiony ${\displaystyle (\zeta =1)}$ – układ powraca do równowagi bez oscylacji i jest to najszybsze dążenie do równowagi bez oscylacji.
• Tłumiony słabo ${\displaystyle (0<\zeta <1)}$ – układ oscyluje ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu.
• Nietłumiony ${\displaystyle (\zeta =0)}$ – układ wykonuje drgania o niezmieniającej się amplitudzie w swojej naturalnej częstotliwości rezonansowej ${\displaystyle (\omega _{o}).}$

Silne tłumienie

Przy silnym tłumieniu ${\displaystyle (\zeta >1).}$

Rozwiązanie równania ruchu w postać:

${\displaystyle x(t)=Ae^{\gamma _{+}t}+Be^{\gamma _{-}t}.}$

Wykładniki funkcji eksponencjalnych są różnymi liczbami rzeczywistymi i dla czasu większego od zera są ujemne. Oznacza to, że przebieg jest sumą dwóch zaników wykładniczych, o różnym czasie połowicznego zaniku. Zależne od położenia i prędkości początkowej współczynniki ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ decydują o charakterze zaniku. Ze względu na to, że wykładnik w drugim członie jest bezwzględnie większy, po pewnym czasie zależnym od położenia i prędkości początkowej, będzie on znacznie mniejszy od pierwszego, wówczas można go pominąć a zanik będzie wykładniczy i określony wzorem:

${\displaystyle x(t)=Ae^{\gamma _{+}t}.}$

Wymuszone drgania silnie tłumione

Zależność amplitudy drgań wymuszonych stacjonarnych od częstotliwości dla różnych współczynników tłumienia

Układ o silnym tłumieniu pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

${\displaystyle F=C\cos(\omega t).}$

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania, przesunięte w fazie względem drgań pobudzających, opisane wzorami^[2]:

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\delta ),}$

gdzie amplituda drgań A jest równa:

${\displaystyle A={\frac {C}{\sqrt {4\beta ^{2}\omega ^{2}+(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}}}},}$

a przesunięcie fazowe ${\displaystyle \delta {:}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \delta ={\frac {2\beta \omega }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

Dla danego oscylatora amplituda drgań jest największa gdy częstotliwość pobudzania jest równa częstotliwości drgań własnych oscylatora. Dla tych drgań β>ω₀ dlatego w pobliżu rezonansu amplituda drgań nie osiąga dużej wartości i nie zależy silnie od częstości wymuszającej.

Tłumienie krytyczne

Tłumienie krytyczne zachodzi dla ${\displaystyle \zeta =1,}$ co odpowiada ${\displaystyle \beta ={\omega _{0}}.}$ Jest to sytuacja graniczna między układem oscylującym a nieoscylującym.

Układ mający w czasie początkowym ${\displaystyle (t=0)}$ prędkość określoną poniższym wzorem, wraca do położenia równowagi w najkrótszym czasie, nie przechodząc przez położenie równowagi. Rozwiązanie równania ruchu ma postać:

${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{-\omega _{0}t}.}$

Prędkość przechodzenia układu do położenia równowagi:

${\displaystyle v(t)=-x_{0}\omega _{0}e^{-\omega _{0}t}=-\omega _{0}x(t).}$

Tłumienie lekko przetłumione

Gdy oscylator jest przetłumiony, ale tłumienie jest niewiele większe od krytycznego ${\displaystyle (\zeta =1+\varepsilon }$ i ${\displaystyle \varepsilon \ll 1),}$ to rozwiązanie oscylatora można przybliżyć wzorem:

${\displaystyle x(t)=(A+B\,t)\,e^{-\omega _{0}t}.}$

Współczynniki ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ oznaczają:

${\displaystyle A=x(0),}$

${\displaystyle B=v(0)+\omega _{0}x(0).}$

Przy dodatnim ${\displaystyle A,}$ położenie ${\displaystyle x(t)}$ ma miejsce zerowe tylko wtedy, gdy ${\displaystyle B}$ jest ujemne, wówczas układ przejdzie raz przez położenie równowagi, a po wychyleniu się w przeciwną stronę będzie dochodzić do punktu równowagi. ${\displaystyle B}$ jest ujemne wtedy, gdy prędkość początkowa jest skierowana w stronę punktu równowagi i większa od ${\displaystyle \omega _{0}x_{0}.}$ Gdy prędkość jest równa ${\displaystyle \omega _{0}x_{0},}$ wówczas znika drugi składnik i układ zachowuje się od początku, podobnie jak tłumieniu krytycznym, podąża do punktu równowagi po krzywej zaniku wykładniczego.

Wymuszenie

Układ o tłumieniu zbliżonym do krytycznego pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

${\displaystyle F=C\cos(\omega t).}$

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania opisane wzorami^[3]:

${\displaystyle x(t)={\frac {C}{\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}}}\cos(\omega t+\delta ),}$

gdzie:

${\displaystyle \operatorname {tg} \delta ={\frac {2\omega \omega _{0}}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

Słabe tłumienie

Słabe tłumienie zachodzi gdy ${\displaystyle 0<\zeta <1.}$

Układ wykonuje oscylacje, amplituda drgań zbiega wykładniczo do zera. Wielomian charakterystyczny ma pierwiastki zespolone. Rozwiązanie równania ruchu ma postać:

${\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta t}\cos({\omega t+\phi _{o}}),}$

gdzie:

${\displaystyle \phi _{o}}$ – początkowa faza drgań, A – amplituda początkowa,

Faza drgań i amplituda początkowa są parametrami opisującymi warunki początkowe.

${\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta t}}$ – opisuje wykładniczy zanik amplitudy,

${\displaystyle x(t)=\cos({\omega t+\phi _{o}})}$ – opisuje oscylacje układu.

Częstość kołowa drgań układu ${\displaystyle \omega }$ jest mniejsza od częstości kołowej tego oscylatora bez tłumienia ${\displaystyle \omega _{0}.}$

${\displaystyle \omega =\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

Wymuszenie

Układ o słabym tłumieniu pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

${\displaystyle F=C\cos(\omega t).}$

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania opisane wzorami^[4]:

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\delta ).}$

Amplituda drgań opisana jest wzorem:

${\displaystyle A={\frac {C}{\sqrt {4\beta ^{2}\omega ^{2}+(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}}}}.}$

Przesunięcie fazowe spełnia zależność:

${\displaystyle \operatorname {tg} \delta ={\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}.}$

Dla wymuszonych drgań słabo tłumionych ${\displaystyle \beta <\omega _{0}}$ dlatego w pobliżu rezonansu amplituda drgań osiąga dużą wartość i silnie zależy od częstości wymuszającej.

Tłumienie w telekomunikacji

Tłumienie pojawia się, gdy podczas komunikacji sygnały przesyłane są w postaci fal rozchodzących się w medium, które je pochłania lub rozprasza powodując, że tylko część emitowanej w nadajniku energii dociera do odbiornika. Zarówno fale elektromagnetyczne przemieszczające się w powietrzu czy światłowodach, jak i sygnały elektryczne w kablach miedzianych ulegają pochłanianiu lub rozpraszaniu. Tłumienie zależy od parametrów medium oraz odległości między uczestnikami komunikacji.

Prócz stałego oddawania energii w postaci promieniowania, energia sygnału zużywana jest również na przemieszczanie go w medium. Sygnał jest najczęściej falą elektromagnetyczną, która w miarę poruszania się w nośniku zużywa własną energię do pokonywania jego oporów. Wynikiem tego jest nieustanne osłabianie amplitudy sygnału. Im dłuższy przewód, tym więcej oporów sygnał musi pokonać na swojej drodze. Opory te wytłumiają (osłabiają) stopniowo sygnał, tak że po przebyciu pewnej drogi dane niesione przez ów sygnał przestają być czytelne dla odbiorcy.

Tłumienie nie stanowi problemu w sieciach, w których kable są na tyle krótkie, że moc sygnału jest wystarczająca do tego, by dotrzeć do wszystkich przyłączonych do sieci urządzeń. Jeśli wymagane są dłuższe kable, można na nich zamontować wzmacniaki.

Jednym z podstawowych parametrów opisujących zdolność danego łącza do realizacji transmisji (kabel, światłowód, łącze bezprzewodowe) jest tłumienność. Wielkość ta określa spadek mocy sygnału przepływającego przez dane łącze transmisyjne.

Zobacz też

• logarytmiczny dekrement tłumienia
• rezonans
• tłumik

Przypisy

Bibliografia

• David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Podstawy fizyki. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 110–111. ISBN 83-01-14107-7.
• A. Palczewski: Równania różniczkowe zwyczajne. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999.